Е.2. Векторная алгебра

Рассмотрим вектор . Его можно представит в общем (некоординатном) виде как , где – орт (единичный вектор), показывающий направление вектора ; – модуль (длина) вектора .

Вектор также можно представить в виде суммы трех взаимно перпендикулярных векторов.

В декартовой системе координат (x, y, z) это представление имеет вид

.

В цилиндрической системе координат (, , ) это представление имеет вид

,

где – орты цилиндрической системы координат (см. рис. Е.2); , – проекции векторов на соответствующие направления цилиндрической системы координат.

В сферической системе координат (, , ) это представление имеет вид

,

где – орты сферической системы координат (см. рис. Е.3); , – проекции векторов на соответствующие направления сферической системы координат.

Рассмотрим векторы и . Скалярное и векторное произведение этих векторов определяются формулами:

,

где – угол между векторами .

,

где – единичный вектор нормали к плоскости, содержащей векторы и , причём , и взаимно перпендикулярны и образуют “правую тройку”.

Пусть векторы и , представлены через свои проекции в декартовой системе векторов

, .

В этом случае скалярное и векторное произведение векторов и , можно найти по формулам:

,

.

Аналогичные представления имеют место для цилиндрической, сферической и других ортогональных систем координат.

Рисунок Е.2 – Цилиндрическая система координат

Рисунок Е.3 – Сферическая система координат