Плоские электромагнитные волны в среде с тепловыми потерями

Рассмотрим случай когда в среде имеются только тепловые потери, т.е. когда s ¹ 0, , а .

В этом случае комплексные амплитуды векторов плоской волны описы­ваются формулами (2.1) и (2.2). Найдем для рассматриваемого случая комп­лексное волновое число и комплексное волновое сопротивление среды. Для дальнейшего удобно комплексное волновое число представить в алгебраичес­кой, а комплексное волновое сопротивление в показательной форме.

Используя формулы (2.4), получаем:

, (2.14)

, (2.15)

где

, (2.16)

, (2.17)

. (2.18)

Величина b, определяемая формулой (2.16), называется коэффициентом фазы или постоянной распространения волны, а величина a – коэффициентом затухания волны. Из формулы (2.15) следует, что комплексное волновое сопротивление среды имеет индуктивный характер.

Перейдем во временную область, т.е. найдем действительные векторы мо­нохроматического поля, соответствующие комплексным амплитудам (2.1) и (2.2). Используя формулы (2.14), (2.15) и (2.18), получаем следующие выражения:

, (2.19)

. (2.20)

Выражения (2.19) и (2.20) описывают плоскую электромагнитную волну в свободном пространстве с тепловыми потерями. Анализ этих формул проводиться так же, как и формул (2.7) и (2.8). Из сравнения формул (2.19) и (2.20) с аналогичными для среды без потерь следует:

– роль волнового числа в среде с потерями играет величина b – постоянная распространения волны или коэффициент фазы;

– в среде с потерями векторы и имеют сдвиг фаз, равный ;

– амплитуды векторов по мере движения волны убывают по экспоненте с коэффициентом затухания a.

Приведем без вывода некоторые свойства и основные параметры плоской волны в среде с потерями.

1. Длина волны:

. (2.21)

2. Фазовая скорость:

. (2.22)

Из формулы (2.22) следует, что в среде с потерями фазовая скорость зависит от частоты . Это явление называют дисперсией волн, а среды, в которых фазовая скорость плоской волны зависит от частоты, называются диспергирующими. Наличие дисперсии приводит к искажению сигналов, так как при передаче сигналов различные составляющие спектра сигнала распространяются с разными скоростями. Это приводит к изменению спектра сигнала, а значит к искажениям во временной области.

Сравнивая формулы (2.21) и (2.22), видим, что

,

где Т – перид.

Последнюю формулу часто принимают за определение длины волны. Именно, длина волны равна расстоянию, которое проходит волна (фронт волны) за перид.

Отметим следующее. При рассмотрении электромагнитных волн, распространяющихся в однородных средах длину волны принято обозначать через , как это сделано в этом и предыдущем разделах. При рассмотрении электромагнитных волн в направляющих системах, вблизи границы раздела двух сред используется обозначение . Величину, равную отношению скорости света в вакууме к частоте генератора, называют длиной волны генератора и обозначают через

.

3. Сдвиг фаз между векторами и приводит к появлению мнимой части в комплексном векторе Пойнтинга:

.

Действительная часть, т.е. средняя за период плотность потока энергии, равна

.

Отметим, что реактивная составляющая вектора Пойнтинга соответствует колеблющемуся потоку энергии, периодически (четыре раза за период) изменяющему направление своего движения.

4. Для характеристики скорости распространения сигнала в среде с потерями вводят понятие групповой скорости. Под групповой скоростью (v _гр) понимают скорость распространения огибающей спектра двух гармонических волн с близкими частотами. Групповая скорость также зависит от частоты и может быть рассчитана по следующей формуле:

. (2.23)

5. Глубина проникновения поля в среду определяется как расстояние, при прохождении которого амплитуды векторов убывают в раз и обозначается через D⁰. При этом

.

Ниже приведены некоторые формулы для двух частных случаев.

1. Среда близкая к диэлектрической или слабо диспергирующая среда
(tgd << 1):

; ;

; ; .

2. Среда близкая к проводящей или сильно диспергирующая среда
(tgd >> 1):

, ,

; , .