Граничные условия для векторов электромагнитного поля

Поверхности физических тел являются границами, разделяющими среды с разными свойствами. В рамках макроскопической электродинамики принято считать, что при переходе через эти поверхности параметры сред меняются скачком. Такие поверхности называются границами раздела.

Согласно уравнениям Максвелла при этом неизбежно испытывают скачки некоторые векторы поля. Для решения задач электродинамики, помимо уравнений Максвелла, необходимо знать граничные условия – соотношения между векторами в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела двух сред. Граничные условия являются следствием уравнений Максвелла в интегральной форме.

Пусть достаточно гладкая поверхность разделяет две среды, в каждой из которых параметры либо постоянны, либо меняются медленно от точки к точке. Тогда в малой окрестности любой точки на поверхности S можно считать границу плоской, а параметры сред – неизменными. Таким образом, из рассмотрения исключаются точки, лежащие вблизи изломов и резких изгибов границы или в области быстрого изменения параметров хотя бы одной из сред.

Рассмотрим некоторую поверхность S, разделяющую две среды с параметрами и (рис. 1.2).

В каждой точке поверхности S можно провести касательную плоскость P и три единичных вектора: – нормаль, направленная из второй среды в первую; – векторы, лежащие в плоскости Р (касательные к границе раздела). При этом будем считать, что .

Рисунок 1.2 – Две среды, разделенные поверхностью S

Используя уравнения Максвелла в интегральной форме, можно показать (см. Приложение В), что на поверхности S выполняются следующие равенства:

(1.21)

. (1.22)

Соотношения (1.21) называют граничными условиями в векторной, а соотношения (1.22) – в скалярной форме. Из этих соотношений следует, что касательные составляющие Е _1τ и Е _2τ вектора и нормальные составляющие В _{1 n} и В _{2 n} вектора при переходе через границу раздела сред всегда непрерывны. Касательные составляющие Н _1τ и Н _2τ вектора и нормальные составляющие D _{1 n} и D _{2 n} вектора непрерывны только в том случае, если на границе раздела сред отсутствуют соответственно ток с поверхностной плотностью и заряды с поверхностной плотностью .

Пусть одна из сред, например, вторая является идеальным проводником. Из уравнений Максвелла следует, что в идеальном проводнике (s = ¥) электромагнитное поле отсутствует. Учитывая этот факт и соотношения (1.21) получаем, что на поверхности идеального проводника граничные условия имеют следующий вид:

, .

Из последних соотношений следует, что силовые линии вектора всегда перпендикулярны, а силовые линии вектора всегда касательные к поверхности идеального проводника.

Используя граничные условия (1.21), (1.22) и материальные уравнения (1.9), (1.10), можно записать граничные условия для касательных составляющих векторов и и нормальных составляющих векторов и .

1.6. Метод комплексных амплитуд

Все реальные электромагнитные процессы можно представить в виде суммы дискретных гармонических колебаний или непрерывного спектра этих колебаний. Поэтому изучают поля при гармонических воздействиях. Такие поля называют монохроматическими (одноцветными).

Рассмотрим некоторый гармонический процесс, который характеризуется следующей функцией Y(t):

Y(t) = Ψ _m cos(w t + j), (1.23)

где w = 2p/ Т – угловая частота; j – начальная фаза; Ψ _m – амплитуда гармонического процесса.

В соответствии с методом комплексных амплитуд вместо действительной функции Y(t), меняющейся во времени по гармоническому закону, рассматривается комплексная функция следующего вида:

, (1.24)

где – мнимая единица; – комплексная амплитуда функции Y(t). Если комплексная амплитуда известна, то

. (1.25)

Вычислим производную по времени от функции .

.

Из последней формулы видно, что операция дифференцирования над комплексной функцией заменяется умножением на i w.

Из формул (1.24) и (1.25) видно, что в комплексной амплитуде зак­лючена вся информация об амплитуде и начальной фазе действительной функ­ции Y(t). Если к тому же известна частота гармонического процесса, то фор­мула (1.25) позволяет легко определить действительную функцию Y(t). Отсюда следует, что при решении конкретных (линейных) задач электродинамики можно рассматривать комплексные функции вида (1.24). При этом сам процесс решения задач существенно упрощается, так как операция дифференцирования над комплексной функцией заменяется умножением на i w.

Изложенное выше остается справедливым и для векторного случая.

Рассмотрим гармонический процесс, который характеризуется векторной гармонической функцией следующего вида:

, (1.26)

где j_x, j_y j_z – начальные фазы, а A_xm, A_ym, A_xm – амплитуды соответствующих проекций вектора .

В соответствии с методом комплексных амплитуд рассмотрим комплексный вектор:

,

где

(1.27)

называется комплексной амплитудой векторной гармонической функции (1.26).

Отметим, что в формуле (1.27) .

Для векторной гармонической функции также имеют место следующие соотношения:

, (1.28)

. (1.29)

Отметим еще раз, что решение задач электродинамики для монохроматических полей значительно упрощается при использовании комплексных векторов. Это упрощение, как уже отмечалось, связано с наличием формулы (1.29).