Способом

Обратная матрица применяется для решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, для которой число уравнений равно числу неизвестных, т.е. m = n.

.

Запишем эту систему в матричной форме. Обозначим

,

где А – матрица коэффициентов при переменных, или основная матрица системы,

Х – столбец переменных (неизвестных),

В – столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы А равно числу строк Х, то их произведение существует и является столбцом (матрицей-столбцом), т.е.

.

Элементами полученной матрицы являются левые части исходной системы. На основании определения равенства матриц систему можно записать в виде:

АХ = В.

Предположим теперь, что квадратная матрица А является невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю. В этом случае существует обратная матрица А ^-1.

Умножим слева на А ^-1 матричное равенство АХ = В, получим

А ^-1 (АХ) = А ^-1 В

или

(А ^-1 А) Х = А ^-1 В.

Так как А ^-1 А = Е, то ЕХ = А ^-1 В или Х = А ^-1 В. Следовательно, решением системы будет матрица-столбец

Х = А ^-1 В (2.6)

Итак, для того чтобы решить систему с помощью обратной матрицы, нужно найти обратную матрицу для основной матрицы системы, а затем умножить найденную матрицу слева на столбец свободных членов. Полученная матрица-столбец и будет являться решением системы.

Рассмотрим пример.

Пример 2.5. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

Решение. Запишем основную матрицу системы и найдем ее определитель

А = ; | А | = 5.

Так как определитель не равен нулю, то матрица А имеет обратную. Найдем обратную матрицу, получим (см. предыдущий пример):

А ^-1 = = .

Найдем решение системы

Х = А ^-1 В = = = .

Таким образом, решением системы является тройка чисел: х ₁=4, х ₂=2, х ₃=1.

Метод обратной матрицы, а также метод Крамера, рассмотренный ранее, обладают рядом существенных недостатков.

Оба эти методы достаточно трудоемки и применимы только для решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых, во-первых, число уравнений равно числу неизвестных и, во-вторых, определитель основной матрицы системы должен быть отличен от нуля. Поэтому эти методы скорее представляют либо теоретический интерес, либо применяются для решения небольших и несложных систем.

Наиболее универсальным является метод Гаусса, который позволяет решить систему линейных алгебраических уравнений с любым числом уравнений и неизвестных.