![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Обратная матрица применяется для решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, для которой число уравнений равно числу неизвестных, т.е. m = n.
.
Запишем эту систему в матричной форме. Обозначим
,
где А – матрица коэффициентов при переменных, или основная матрица системы,
Х – столбец переменных (неизвестных),
В – столбец свободных членов.
Так как число столбцов матрицы А равно числу строк Х, то их произведение существует и является столбцом (матрицей-столбцом), т.е.
.
Элементами полученной матрицы являются левые части исходной системы. На основании определения равенства матриц систему можно записать в виде:
АХ = В.
Предположим теперь, что квадратная матрица А является невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю. В этом случае существует обратная матрица А -1.
Умножим слева на А -1 матричное равенство АХ = В, получим
А -1 (АХ) = А -1 В
или
(А -1 А) Х = А -1 В.
Так как А -1 А = Е, то ЕХ = А -1 В или Х = А -1 В. Следовательно, решением системы будет матрица-столбец
Х = А -1 В (2.6)
Итак, для того чтобы решить систему с помощью обратной матрицы, нужно найти обратную матрицу для основной матрицы системы, а затем умножить найденную матрицу слева на столбец свободных членов. Полученная матрица-столбец и будет являться решением системы.
Рассмотрим пример.
Пример 2.5. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
Решение. Запишем основную матрицу системы и найдем ее определитель
А = ; | А | = 5.
Так как определитель не равен нулю, то матрица А имеет обратную. Найдем обратную матрицу, получим (см. предыдущий пример):
А -1 =
=
.
Найдем решение системы
Х = А -1 В =
=
=
.
Таким образом, решением системы является тройка чисел: х 1=4, х 2=2, х 3=1.
Метод обратной матрицы, а также метод Крамера, рассмотренный ранее, обладают рядом существенных недостатков.
Оба эти методы достаточно трудоемки и применимы только для решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых, во-первых, число уравнений равно числу неизвестных и, во-вторых, определитель основной матрицы системы должен быть отличен от нуля. Поэтому эти методы скорее представляют либо теоретический интерес, либо применяются для решения небольших и несложных систем.
Наиболее универсальным является метод Гаусса, который позволяет решить систему линейных алгебраических уравнений с любым числом уравнений и неизвестных.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 150 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!