Модуль

Если непрерывная кусочно-линейная функция записана посредством модулей, то ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке всегда существуют и достигаются либо на концах отрезка, либо в нулях подмодульных выражений, расположенных на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения такой функции на всей числовой оси, оба или только одно, а также эти значения на луче могут существовать, а могут и нет. Если же они существуют, то на числовой оси они достигаются в нулях подмодульных выражений, а на луче – либо в начальной точке луча, либо в нулях подмодульных выражений, расположенных на луче. Геометрической интерпретацией приведенных свойств кусочно-линейной функции служат графики, изображенные на рис. 1.

Рис.1.

Пример1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

а) на отрезке [ 2;1] -; б) на луче [0; +¥); в) на всей числовой оси. Решение. а) Нулями подмодульных выражений x +1, , x -3 являются точки x = -2,5, x =-1, x = 0,5, x = 3, из которых на отрезке [ 2;1] - расположены лишь точки x =-1 и x = 0,5. В этих точках и на концах отрезка y(-2)=0; y(-1)=1; y(0,5)=-3,5; y(1)=-3. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ 2;1] - равны 1 и -3,5 соответственно.

б) При больших положительных x все модули раскрываются со знаком плюс и y=5x-16, откуда следует, что при x ® +¥ функция стремится к +¥, поэтому наибольшее значение функции на луче [0; +¥) не существует, а наименьше значение достигается либо в точке x = 0, либо в точках x = 0,5, x = 3. Так как y(0)=-2; y(0,5); y(3)=-1, то искомое наименьшее значение функции равно -3,5.

в) При x ® -¥, как и при x ® +¥, функция стремится к +¥, поэтому наибольшее значение функции на числовой оси не существует, а наименьшее значение, равное -3,5, достигается в точке x = 0,5.

Неравенство Коши.

Оказывается, среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел не меньше их сред-него геометрического: (1)

причём равенство в (1) достигается лишь в случае Неравенство (1) называется неравенством Коши. Мы докажем неравенство Коши для случаев n = 2; 3; 4.Для двух чисел неравенство Коши имеет вид: (2)

Для доказательства составим разность и преобразуем

Очевидно, что

причём равенство достигается лишь при a = b. Тем самым неравенство (2) доказано. Из неравенства (2) следует ещё одно важное неравенство. Пусть a > 0. Перепишем неравенство (2) в вид

и положим тут . Получим

(3)

Мы видим, таким образом, что сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше двойки, причём равенство достигается, когда оба они равны единице.Теперь докажем неравенство Коши для четырёх чисел. Оно имеет вид:

(4)

Используем уже доказанное неравенство (2):

откуда

что и доказывает неравенство (5). Равенство в нём достигается при a = b = c.

Пример1. Найдите наименьшее значении функции

Решение: Так как числа и положительны при любых действительных значениях t и z, применив неравенство 1), получим

Таким образом, при любом действительном x, причем знак равенства достигается, лишь если

Ответ: .

Используемая литература:

Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2011. Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдачи единого государственного экзамена по математике в 2012 году. В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2012.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Исследование функций». Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника.
Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.

Исследование функций с применением производной.
Общие замечания
Можно выделить следующие основные группы задач по теме, вынесенной в название параграфа:
• исследование функции на экстремумы;
• исследование функции на возрастание/убывание;
• исследование функции на наибольшие и наименьшие значения (в том числе на отрезке);
• исследование функции с помощью графика ее производной (чтение графика производной).

Разница между первыми тремя и последней группами задач заключается лишь в способе задания функции. В более традиционных для школьных учебников задачах (первые три группы задач) функция задана аналитически, для решения задачи нужно найти производную, ее нули и промежутки знакопостоянства. Именно эти задачи и будут рассматриваться в пособии. В менее традиционных задачах, ставших очень популярными в последние годы (в том числе и благодаря ЕГЭ по математике), выводы о промежутках возрастания и убывания (т. е. промежутках монотонности), экстремумах функции, ее наименьших или наибольших значениях нужно сделать, исследуя заданный график производной этой функции.

Для успешного решения задач по теме необходимо уверенное владение навыками вычисления производных и решения неравенств. Исследование дифференцируемой функции на возрастание (убывание) сводится к определению промежутков знакопостоянства ее производной. Напомним соответствующие утверждения.