Возрастание и убывание функций

Функция, график которой изображен на рисунке 1, a, обладает тем свойством, что при увеличении значения аргумента x значения функции увеличиваются. Про такие функции говорят, что они возрастают. А значения функции, график которой изображен на рисунке 1, б, уменьшаются при увеличении x. Эта функция убывает. Функция f, график которой изображен на рисунке 2, возрастает на отрезках [a;b] и [c;d] и убывает на отрезке [b;c] и луче [d;+∞).

1)

2)

Определение1. Функцию f называют возрастающей ( соответственно убывающей) на множестве X, если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.

Иными словами, функция f возрастает на множестве X, если из , и следует, что . Она убывает на этом множестве, если из , и следует: (рис.3, а, б).\

3)

Наряду с возрастанием и убыванием функции рассматривают нестрогие возрастание и убывание.

Определение2. Функцию f называют нестрого возрастающей (соответственно нестрого убывающей) на X, если из , , следует: (соответственно ).

Графики таких функций изображены на рисунке 4 а, б, Они могут содержать как участки возрастания (соответственно убывания), так и горизонтальные участки.

Функции, возрастающие или убывающие на X, называют монотонными на X, а функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на X, называют нестрого монотонными на X.

4)

Монотонная функция.

это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда не отрицательное, либо всегда не положительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строгомонотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример1.Найдите наименьшее значение функции.

Решение: Область определения функции: D(y)= . Функция является возрастающей на D(y) как сумма двух возрастающих функций.

Поэтому

Ответ:

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции

Решение: Имеем . Функция является возрастающей на своей области определения, поэтому на D(y), причем знак равенства достигается при

Ответ:

Теорема: пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x0. Тогда:

а) если x=x0 — точка максимума, то y наиб =f(xo);

б) если x=x0 — точка минимума, то y наим =f(xo).

Пример1. Функция , где , возрастает на луче [0;+∞).

В самом деле из следует: .

Для доказательства монотонности функции полезны следующие общие утверждения.

1)Если функция f возрастает на множестве X, то для любого числа c функция f+c тоже возрастает на X.

2)с и c>0, то функция cf тоже возрастает на X.

3)Если функция f возрастает на множестве X, то функция – f убывает на этом множестве.

4)Если функция f возрастает и сохраняет знак на множестве X, то функция убывает на этом множестве.

5)Если функция f и g возрастают на множестве X, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве.

6) Если функция f и g возрастают и неотрицательны на множестве X, то их произведение fg тоже возрастает на X.

7) Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве X и n – натуральное число, то функция тоже возрастает на X.

8) Если функция f возрастает на множестве X,а функция g возрастает на множестве значений E(f) функции f, то композиция g◦f этих функций возрастает на X.

Все эти утверждения непосредственно вытекают из свойств неравенств и определения возрастания и убывания функций. Например, утверждение 6) доказывается следующим образом. Пусть , и Тогда, в силу того что функции f и g неотрицательны и возрастают, имеют место неравенства и . Но тогда . Это и значит, что функция f●g возрастает на X.

Пример 2. Докажем, что функция убывает на положительной полуоси [0;+∞).

Решение. Так как функция X неотрицательна и возрастает на полуоси [0;+∞), то по утверждениям 7) и 2) теми же свойствами обладают функции и . Но тогда по утверждениям 1) и 5) функция тоже возрастает на [0;+∞), а потому по утверждению 4) функция убывает на этом множестве.

Если функция f возрастает на отрезке [a; c] и убывает на отрезке [c; b], то ее значения в точке c больше значений в остальных точках отрезка [a; b] ( рис.5.,а)

5)

Аналогично если функция f убывает на отрезке [a; c] и возрастает на отрезке [c; b], то ее значение в точке c меньше всех остальных ее значений на отрезке [a; b] ( рис.5, б)

6)

На рисунке 6, a изображен график функции . Из рисунка видно, что этот график целиком лежит в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1.Это вытекает из того, что для всех x имеем . График же функции (рис. 6, б) имеет точки со сколь угодно большими значениями ординат и потому ни в какую полосу, параллельную оси абсцисс, поместиться не может. Однако если взять часть этого графика, лежащую над отрезком [-2; 2], то она целиком лежит в полосе, ограниченной прямыми y=-4 и y=4.

Введем следующее определение:

Определение 3. Функцию f называют ограниченной снизу (соответственно сверху) на множестве X, если существует такое число M, что на X выполняется неравенство (соответственно ). Функцию ограниченную на X снизу и сверху, называют ограниченной на этом множестве.

Если функция f не является ограниченной (ограниченной снизу, ограниченной сверху) на X, то ее называют неограниченной (неограниченной сверху, неограниченной снизу) на X. В этом случае для любого M найдется такое x X, что │ f(x) │> M (соответственно f (x)>M; f(x)<M).

Пример3.а) Функция ограничена на всем множестве R; б) функция ограничена снизу на R (так как 1), но не ограничена сверху на R; на любом отрезке [a; b] эта функция ограничена; в) функция не является ограниченной на промежутке (0; 1), так как при x, достаточно близких к нулю, она принимает сколь угодно большие значения; на любом отрезке вида [e; 1], где e>0, эта функция ограничена.