Квадратичная функция

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе стоит квадратичная функция вида:

Мы рассмотрим подход без нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Свойство параболы, напомним его:

Если а > 0, то её ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её ветви направлены вниз.

далее вспомним координату (абсциссу) вершины параболы:

Область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под знаком логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в знаменателе дроби не равно нулю.В подобных задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовал находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в представленных задачах это ничего нам не даёт).

Квадратичная функция общего вида y = ax² + bx + c также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x₀ (x₀ – абсцисса вершины параболы), параллельной оси ординат. Если a > 0, то ее ветви направлены вверх и E(y) = [y₀; + ∞) или вниз при a < 0 и тогда E (y) = (-∞;y₀), где y₀ – ордината вершины параболы. Только вершина этой параболы находится не в начале координат, а в точке (-b / 2a; (4ac- b²) / 4a). Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c). Если дискриминант квадратного трехчлена ax² + bx + c. Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a; 0). Если дискриминант положительный, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями уравнения 0= ax² + bx + c.отрицательный, т. е. b²– 4ac < 0, то график функции y = ax² + bx + c не пересекает ось абсцисс.

Пример1.Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена.

Рассмотрим функцию у = х2–6х+11

Она квадратичная, значит графиком является парабола, ветки которой напрвлены вверх. А значит наименьшим значением является ордината вершины параболы

y = 3²-6·3+11=9-18+11=2