Сложные функции

Если исходная функция монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее точка х будет наименьшим (наибольшим)значением. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки наименьших (наибольших) значений квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать наименьшие (наибольшие) значения для квадратного трехчлена, а не для данной функции.

Пример1. Найдите наибольшее значение функции

Под корнем квадратичная функция 13 + 6х – х²

Ее график — парабола, ветви направлены вниз, поскольку а = – 1 < 0

Значит, наибольшее значение функция приобретает в точке:

Проверим, принадлежит ли полученное значение области определения. То есть будет ли подкоренное выражение числом неотрицательным:

13 + 6∙3 – 3² = 13 + 18 – 9 = 22 > 0

Почему необходимо это сделать? Дело в том, что абсцисса соответствующая вершине параболы может не войти в область определения, это будет означать, что области определения будет принадлежать только участок ветви параболы.

Ответ: 3

Пример2.Найдите наименьшее значение функции

Под корнем квадратичная функция х² + 8х + 185.

Ее график — парабола, ветви направлены вверх, поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

Так как ветви параболы направлены вверх, то в точке х = – 4 функция

х² + 8х + 185 принимает наименьшее значение.

Функция квадратного корня монотонно возрастает, значит х = 4 точка минимума всей функции, вычислим её наименьшее значение:

Ответ: 13