Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пример 1. Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х2;
S/(х)=10-2х; S/(х)=0; х=5;
По условию задачи х (0;10)
Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;
Пример 2. Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
Решение: Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет м, длина изгороди Р(х)=3х+ ;
Р/(х)= 3- ; Р/(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.
По условию задачи х (0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40;?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая =60м.
Пример 3. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в 1 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет ( -2х)м, площадь S(х)= ( -2х)х = х -2х2;
S/(х)= -4х; S/(х)=0; -4х; х = ;
По условию задачи х (0; )
Найдем знак производной на промежутке (0; )и на промежутке (; ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = м, вторая -2х= м;
Пример 4. Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?
Решение: Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х3-260х2+4000х;
V/(х)=12х2-520х+4000; V /(х)=0; 12х2-520х+4000=0; х1=10; х2=
По условию задачи х (0; 25); х1 (0; 25), х2 (0;25)
Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см.
Пример 5. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х2;
S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = =5;
По условию задачи х (0; 10)
Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м;
Пример 6. Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.
Решение:
Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет м, Р(х)=2х+ ;
Р/(х)=2- ; Р/(х)=0;2х2=4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи.
По условию задачи х (0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5;?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая =3м.
Пример 7. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х2;
S/(х)= 200 -4х; S/(х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50;
По условию задачи х (0; 100)
Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с “+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая 200 -2х= 100м;
Пример 8. Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300см2.
Решение:
Обозначим одну сторону основания через х см, тогда высота будет см, объем V(х)=х2 = ;
V/(х)= = V /(х)=0 300-3х2=0; х2 =100; х=10. Берем только положительное значение по условию задачи.
По условию задачи х (0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на промежутке (10; ). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=10 точка минимума, следовательно, V(10)=500см3 - наименьшее значение, значит, сторона основания 10см, высота = 50см
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 3661 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!