Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Ход работы. Пример 1. Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади



Пример 1. Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.

Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х2;

S/(х)=10-2х; S/(х)=0; х=5;

По условию задачи х (0;10)

Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;

Пример 2. Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.

Решение: Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет м, длина изгороди Р(х)=3х+ ;

Р/(х)= 3- ; Р/(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40;?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая =60м.

Пример 3. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в 1 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Решение:

Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет ( -2х)м, площадь S(х)= ( -2х)х = х -2х2;

S/(х)= -4х; S/(х)=0; -4х; х = ;

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0; )и на промежутке (; ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = м, вторая -2х= м;

Пример 4. Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?

Решение: Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х3-260х2+4000х;

V/(х)=12х2-520х+4000; V /(х)=0; 12х2-520х+4000=0; х1=10; х2=

По условию задачи х (0; 25); х1 (0; 25), х2 (0;25)

Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см.

Пример 5. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Решение:

Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х2;

S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = =5;

По условию задачи х (0; 10)

Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м;

Пример 6. Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.

Решение:

Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет м, Р(х)=2х+ ;

Р/(х)=2- ; Р/(х)=0;2х2=4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5;?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая =3м.

Пример 7. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Решение:

Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х2;

S/(х)= 200 -4х; S/(х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50;

По условию задачи х (0; 100)

Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с “+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая 200 -2х= 100м;

Пример 8. Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300см2.

Решение:

Обозначим одну сторону основания через х см, тогда высота будет см, объем V(х)=х2 = ;

V/(х)= = V /(х)=0 300-3х2=0; х2 =100; х=10. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на промежутке (10; ). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=10 точка минимума, следовательно, V(10)=500см3 - наименьшее значение, значит, сторона основания 10см, высота = 50см





Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 3661 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...