Общая схема исследования функции и построение графика

При построении графиков функций с помощью производных полезно придерживаться такого плана:

1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.

2. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют ее на периодичность.

3. Определяют точки пересечения графика функции с коор­динатными осями, если это возможно.

4. Находят критические точки функции.

5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба.

7. Используя результаты исследования, соединяют полу­ченные точки плавной кривой.

Иногда для большей точ­ности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунк­туально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если выраже­ние для второй производной окажется очень сложным, то можно ограничиться построением графика на основании результатов исследования первой производной; если функция — четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции, и т. п.