Ход работы. Говорят, что функция , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения

Говорят, что функция , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке :

1. найти ;

2. найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

3. вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке , которые можно обозначить так: .

Если поставлена задача найти для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка .

Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:

1. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка максимума, то - наибольшее значение функции на промежутке Х;

2. если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка минимума, то - наименьшее значение функции на промежутке Х.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции у = 5х – ln (х + 5)⁵ на отрезке [– 4,5;0].

Решение. Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную, приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Точка х = – 4 принадлежит заданному интервалу.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами, которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. И вы убедитесь, что наименьшим значением функции на данном отрезке является – 20.

Значит, в этой точке значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции у = 3х – ln (х + 3)³ на отрезке [–2,5;0].

Решение:

Пример 3. Найдите наибольшее значение функции у = ln (х + 5)⁵– 5х на отрезке [– 4,5;0].

Решение: