Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость

1. Сначала следует убедиться, что число векторов исследуемой системы не превосходит числа координат векторов. Если же p > n, то можно делать вывод о линейной зависимости.

2. Проверяем, не содержит ли система векторов нулевого вектора, равных векторов, пропорциональных векторов ( и ). Если такие имеются, то также делается вывод о линейной зависимости системы.

3. Если два предыдущих пункта алгоритма не привели к результату, то составляем матрицу A, строками которой являются векторы исследуемой системы векторов и находим ее ранг. Если Rank(A) < p, то система векторов линейно зависима. Если Rank(A) = p, то система векторов линейно независима.

2) В двух пеналах находятся ручки двух цветов. В первом пенале – 5 красных и 7 черных ручек, во втором – 9 красных и 6 черных. Из каждого пенала взяли по одной ручке, а потом из этих ручек наугад выбрали одну. Найти вероятность того, что эта ручка красного цвета.

Билет 6.

1) Решение СЛУ различными методами

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными (p может быть равно n) вида

- неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид ,
где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.