Исследование системы векторов на линейную зависимость

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

1. когда хотя бы один из векторов системы является нулевым;

2. когда система векторов содержит два или более равных вектора;

3. когда система векторов содержит пропорциональные векторы ( и );

4. когда достаточно очевидно, что один из векторов системы линейно выражается через несколько других.

матрицы А порядка p на n, . Пусть М – базисный минор матрицы А. Все строки (все столбцы) матрицы А, которые не участвуют в образовании базисного минора М, линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М.

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A, строками которой будут векторы исследуемой системы :

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A) = p.

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A) < p.

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p > n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.