Средние вариационного ряда

Основным показателем вариации называется среднее арифметическое вариационного ряда , которое рассчитывается по формуле:

,

где n – общее число наблюдений;

m – число вариант;

n_i – частота варианты х_i;

w_i – относительная частота варианты х_i.

Например, для таблицы 5 среднее арифметическое = (2*3 + 3* 25 + 4*39 + 5*33) = 4,02 (балла).

Свойства этой средней величины аналогичны свойствам математического ожидания.

Кроме того, если вариационный ряд разбит на несколько групп, то среднее арифметическое всего ряда можно рассчитать, как среднее арифметическое групповых средних: ,

где n – общее число наблюдений;

k – число групп;

- среднее арифметическое i-й группы;

n_i – число наблюдений в i-й группе.

Например, если среди ста студентов, оценки которых приведены в таблице 5, присутствуют студенты двух различных специальностей, то можно разбить этот вариационный ряд на две группы (см. таблицы 7 и 8). По данным второго и третьего столбцов этих таблиц можно рассчитать средний балл для студентов специальности № 1 (он составил 4,12 балла) и средний балл для студентов специальности № 2 (он составил 3,875 балла). Теперь для расчета общей средней можно воспользоваться вышеприведенной формулой:
(4,12*60 + 3,875*40) /100 = 4,02 (балла), - что совпадает с полученным ранее результатом.

Если всех студентов, данные о которых приведены в таблице 5, выстроить в ряд по возрастанию полученного ими балла, то из этих ста человек в середине стояли бы студенты под номерами 50 и 51 от начала ряда. Оба эти студента получили оценку 4, так как накопленная частота для оценки 3 составляет 28, а для оценки 4 она составляет 67 (все студенты под номерами с 29-го по 67-й включительно получили оценку 4).

То значение варианты, которое соответствует середине вариационного ряда, называется медианой и обозначается Me. Если число наблюдений – нечетное, то медианный номер равен (n + 1)/2; а если четное – то медианных номеров два: n/2 и ((n/2) +1), а сама медиана рассчитывается, как среднее арифметическое этих двух вариант.

В примере из таблицы 5 медианные номера 50 и 51, а Me = (4 + 4)/2 =
= 4 (балла).

Та варианта, которая встречается в вариационном ряду чаще всего, называется модой (мода – это то значение признака, которое встречается у большинства наблюдений) и обозначается Mo.

В таблице 5 Mo = 4 (балла), так как этой варианте соответствует наибольшая частота 39.

Для интервального вариационного ряда используется несколько более сложная методика расчета рассмотренных средних, которую здесь рассматривать не будем.

В вышеприведенном примере Мо = Ме = 4» 4,02 = . Это отнюдь не всегда бывает так. Например, если рассчитать средние по данным таблицы 6, то можно получить = 3,81» 4, Me = 3, Mo = 5. Т.е. при том, что большинство студентов получили 5 (42 человека), в середине ряда оказались студенты с оценкой 3, а средний балл составил чуть меньше 4.

Таблица 6 – Дискретный вариационный ряд