Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

· степенные функции , где α – любое действительное число;

· показательные функции , где а > 0, ;

· логарифмические функции , где а > 0, ;

· тригонометрические функции , , , ;

· обратные тригонометрические функции , , , .

!!! Задание на СРС: составить конспект по основным элементарным функциям (включить в рассмотрение - графики, свойства).

Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными.

Примеры элементарных функций: ; ; ; .

Гиперболические функции также являются элементарными, их графики и основные свойства приведены в приложении 1.

Примерами неэлементарных функций являются функции Дирихле, функции y = [ x ], y = { x }.

Пример 1: Функция Дирихле

определена на всей числовой прямой, множество её значений состоит из двух чисел: 0 и График её построить нельзя.

Пример 2:

График функции y = [ x ]

Функция y = [ x ] – целая часть от значений аргумента х – задана для всех действительных значений R, а множество её значений состоит из целых чисел Z. График представлен на рис.

Функция y = { x } – дробная часть от значений аргумента x. Областью определения является множество всех действительных чисел R, множеством значений – полуинтервал . График представлен на рис.

Название «элементарные функции» сложилось исторически и не означает, что они являются простыми, тривиальными.

Классификация элементарных функций:

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий.

Алгебраические функции делятся на:

· целые рациональные функции (многочлены)

;

· дробно-рациональные функции (отношение двух многочленов)

;

· иррациональные функции (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Любая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К трансцендентным относятся тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные, логарифмические функции.

Классификация элементарных функций представлена на схеме:

Графики многих элементарных функций могут быть построены с помощью преобразований из графиков основных элементарных функций.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение функции. Приведите примеры. Что называется областью определения функции?

2. Перечислите способы задания функции, охарактеризуйте каждый из них.

3. Перечислите и охарактеризуйте свойства функции. Приведите примеры.

4. Дайте определения обратной и сложной функциям. Приведите примеры.

5. Какие функции относят к элементарным? Какова классификация элементарных функций?

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.