Основные свойства функции

1) Чётность

Опр.: Функция y = f (x) называется чётной, если для любых значений x из области определения f (- x) = f (x), нечётной, если f (- x) = - f (x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат О у, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры: 1) Функция является функцией общего вида, т.к. . Её график не является симметричным ни относительно оси О у, ни относительно начала координат

2) Функция - нечётная, т.к. .

3) Функция является чётной, т.к. .

4) Функция является чётной, т.к. .

2) Монотонность

Функция y = f (x) называется строго возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. .

Функция y = f (x) называется строго убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. .

Функция y = f (x) называется невозрастающей на промежутке Х, если выполняется условие:

.

Функция y = f (x) называется неубывающей на промежутке Х, если выполняется условие:

.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.

Пример: Функция является монотонной, причём она возрастает во всей области определения, т.е. .

3) Ограниченность

Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число А > 0, что .

Пример: Функция является ограниченной, т.к. ; функция не является ограниченной: .

4) Периодичность

Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое положительное число Т > 0, что f (x + Т) = f (x). Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Пример: Тригонометрические функции и являются периодическими с периодом 2π; функции , - периодические с периодом π.

Для построения графика периодической функции достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду, а затем продолжить его в обе стороны, повторяя основной график.