Методи оптимізації з використанням похідних

Доцільно припустити, що ефективність пошукових процедур істотно підвищиться, якщо на додаток до умови безперервності ввести вимогу диференційовності цільової функції. Необхідна умова існування оптимуму цільової функції в точці x^*

(x^*) = d/dx ï _x=x* = 0.

У випадку, якщо цільова функція містить члени, що включають x у третій і більш високих степенях, то отримати аналітичний розв’язок рівняння W’ (x) важко. У цих випадках доцільно використовувати чисельні методи знаходження коренів нелінійних рівнянь:

- метод середньої точки;

- метод хорд;

- метод дотичних;

Метод середньої точки. Метод оснований на алгоритмі виключення інтервалів, на кожній ітерації якого розглядається одна пробна точка R. Якщо в точці R виконується нерівність (R) < 0, то внаслідок унімодальності функції точка оптимуму не може лежати лівіше точки R. Аналогічно, якщо (R) > 0, то інтервал x > R можна виключити.

Нехай в інтервалі [ a, b ] існують дві точки N і P, у яких похідні (N) < 0 і (P) > 0. Оптимальна точка x^* розташована між N і P.

Крок 1. Покласти P = b, N = a, причому (a) < 0 і (b) > 0.

Крок 2. Обчислити R =(P+N)/2 і (R).

Крок 3. Якщо (R) < e, то закінчити пошук. Інакше, якщо (R) < 0, покласти N=R, і перейти до кроку 2. Якщо ж | (R)| > e, покласти P = R і перейти до кроку 2.

Як випливає з логічної структури, процедура пошуку за методом середньої точки основана на дослідженні тільки знаку похідної.

Приклад 5.6. Мінімізувати W (x)=2 x ²+(16/ x) на інтервалі 1£ x £ 5.

(x) = d (x)/ dx = 4 x - 16/ x ².