Потужність множин і зліченність

Розглянемо множину натуральних чисел та її скінченну підмножину – відрізок натурального ряду. Означення. Непорожня множина називається скінченною, якщо вона бієктивна деякій підмножині , . Якщо ~ , то потужність множини дорівнює . Означення. Непорожня множина називається зліченною, якщо вона бієктивна множині натуральних чисел . Для позначення потужності зліченної множини використовується символ À (алеф-0).Можна сказати, що множина зліченна, якщо її елементи можна перенумерувати натуральними числами.

Означення. Множини називаються рівнопотужними, якщо між ними можна встановити бієкцію.

Ясно, що рівнопотужні скінченні множини мають однакову потужність – кількість елементів.

Існують нескінченні множини, елементи яких не можна перенумерувати. Такі множини називають незліченними. Має місце Теорема Кантора. Множина всіх точок відрізка незліченна. Означення. Множина, бієктивна множині всіх точок відрізка , називається множиною потужності континуума. Оскільки множини точок інтервалів, відрізків і всієї числової прямої рінопотужні, то всі вони мають потужність континуума.

Лекція розроблена доцентом кафедри ВМ,

к.т.н. Скубаком О.М.