Операції над відношеннями. Нехай між множинами і встановлено відношення

Нехай між множинами і встановлено відношення . З кожним бінарним відношенням на множинах і зв’язані деякі множини.

Означення. Множина називається множиною відправлення, множина називається множиною прибуття відношення.

Означення. Множина перших компонент всіх пар, які входять до відношення називається областю визначення відношення . Множина других компонент всіх пар, які входять до відношення називається областю значень відношення .

Відношення між множинами і на діаграмі Ейлера-Венна:

Сукупність всіх тих , в які переходить даний елемент , називається образом елемента і позначається . Сукупність всіх тих , які переходять в даний елемент , називається прообразом елемента і позначається . Аналогічно визначаються образ множини і прообраз множини .

Оскільки відношення – це множини, над ними можна виконувати всі теоретико-множинні операції: переріз, об’єднання, віднімання, доповнення. При цьому виконуються всі закони алгебри множин.

Для відношень має зміст операція обернення. Перехід від до здійснюється взаємною перестановкою компонент кожної пари, яка входить до відношення.

Нехай – бінарне відношення на множинах і . Відношенням, оберненим до відношення називається таке відношення

, що тоді і тільки тоді, коли .

Якщо два відношення і застосувати послідовно, то можна знайти їх композицію, тобто побудувати нове відношення , при умові, що елементи області значень першого відношення є елементами області визначення другого відношення.

Означення.Композицією двох відношень і називається відношення , де

.