Арифметичним коренем п-го степеня з числа а називається невід’ємне число, п-й степінь якого дорівнює а

При для арифметичного значення кореня п -го степеня з числа а існує спеціальне позначення:

; число п називають показником кореня, а саме число а — підкореневим виразом. Знак кореня і вираз називають також радикалом.

Приклад 2. Знайти значення: а) ; б) .

а) = 2, тому що 2 = 8 і 2 > 0;

б) = , тому що = і > 0.

При a > 0 значення кореня п - го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях п (оскільки не існує такого дійсного числа, парний степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарного степеня з числа а теж позначають . Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа -27 дорівнює -3, записують так: . Оскільки -3 – від’ємне число, то не є арифметичним значенням кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичне значення кореня за допомогою формули = - .

Наприклад, = - , = - .

Зауваження 1. Зручно вважати, що корінь першого степеня із числа а рівний а. Як ви вже знаєте, корінь другого степеня з числа називають квадратним коренем, а показник 2 кореня при записі опускають (наприклад, корінь квадратний з 7 позначають просто ). Корінь третього ступеня називають кубічним коренем.

Приклад 3. Розв'яжемо рівняння: а) х⁵= -11; б) х⁸ = 7.

а) З визначення кореня n-го степеня число х - корінь п'ятого степеня з -11. Показник кореня - непарне число 5, тому такий корінь існує й притому тільки один: це .

Отже, х = - .

б) З визначення кореня n-го степеня розв’язанням рівняння х⁸ = 7 є число . Тому що 8 — число парне, - також є рішенням даного рівняння. Отже, х₁ = , х₂ = - .

Відповідь можна записати так: х= ± .