Уравнение динамики линейной системы n-го порядка. Передаточные функции. Временные характеристики систем

Уравнение динамики линейной системы n-го порядка с одной входной и одной выходной величинами это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

где а₀, а₁,…, а_п-1, а_п; b₀,b₁,…, b_п-1, b_п; — постоянные коэффициенты, зависящие от параметров входящих в систему элементов; i — время.

В физически реализуемых системах порядок левой части этого уравнения выше или равен порядку правой части уравнения, т. е. п ≥ т. В левой части уравнения группируют слагаемые, содержащие выходную величину и ее производные, а в правой — слагаемые с входной величиной и ее производными. При нескольких входных величинах все слагаемые, содержащие входные величины и их производные, записывают в правую часть уравнения. При наличии нескольких выходных величин поведение системы в переходном режиме описывают системой уравнений динамики, число которых равно числу выходных величин.

Решение уравнения динамики (I,6) представляет собой зависимость изменения выходной величины системы во времени при известном входном воздействии. По полученному решению определяют качество переходного процесса.

Уравнение динамики (I,6) при х_вх = 0 имеет вид:

Это однородное уравнение. Оно характеризует поведение системы, предоставленной самой себе, после снятия внешних возмущений. Его называют уравнением свободного движения системы.

Из уравнения динамики (I, 6) можно получить уравнение статики системы, приравняв в нем все производные нулю. Оно имеет вид уравнения (I,5), если k — b_m/a_m.

Обычно, входные и выходные величины в уравнениях статики и динамики записывают в относительном виде. При этом постоянные коэффициенты уравнения динамики или безразмерны, или имеют размерность времени в степени, равной порядку производной соответствующего слагаемого.

Для упрощения записи уравнения динамики операцию дифференцирования обозначают символом р (здесь р — алгебраическая величина):

Аналогично операцию интегрирования обозначают 1/p:

Таким образом

Используя эти соотношения, получим следующую запись уравнения динамики системы (I, 6):

Заменяя полином в левой части уравнения (1,8) через D(p) а в правой части через К (р), окончательно получим

где D(p) —полином, характеризующий свободные колебания системы; К(р) —полином, характеризующий внешнее возмущение.