Математическая модель изменения уровня жидкости в резервуаре, из которого жидкость откачивается насосом. Переходные процессы в

Производительность F_p постоянна.

Для нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от входных величин F_пр и F_p (в м³/с) составим уравнение материального баланса аппарата:

где V — объем жидкости в аппарате, м³; t — время, с. Отсюда скорость изменения объема жидкости в аппарате:

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь горизонтального сечения аппарата А (в м²) неизменна по высоте

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорциональна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости принимает постоянные значения во времени (скорость dL/dt=0) только при отсутствии рассогласования потоков F_пр и F_p.

Проинтегрируем уравнение (II,6) в пределах от 0до t

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна интегралу от изменения его входных величин.

При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ΔF уровень жидкости L изменяется по зависимости (рис II-5):

Рис. II-5. Переходная характеристика нейтрального объекта первого порядка.

Как следует из уравнения (II,8), скорость изменения выходной величины при ступенчатом возмущении ΔF постоянна и равна

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта представляют в относительных величинах. Предполагая, что F_nр является возмущением, a F_p — регулирующим воздействием (см. рис. II-1), имеем

где L₀ и F₀ — значения соответствующих величин при равновесном состоянии объекта.

Записав уравнение (II,6) в приращениях и введя относительные величины, получим уравнение динамики:

Из уравнения (II,11) видно, что отношение AL₀/F₀ имеет размерность времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через T_ε. Под этим термином донимают время, в течение которого выходная величина объекта у, изменяясь с постоянной скоростью, достигает значения входной величины z. Время разгона T_ε прямо пропорционально емкости объекта и характеризует его инерционные свойства.

Заменяя коэффициент в левой части уравнения (II,11) через T_ε, получим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем виде

Интегрируя уравнение (II,12), найдем

В нашем случае х=0. Величину, обратную T_ε, часто называют скоростью разгона объекта ε, под которой понимают скорость изменения выходной величины у при предварительном ступенчатом изменении входной величины z, равном единице. Действительно, при единичном ступенчатом возмущений z — x=1(t) изменение выходной величины у подчиняется зависимости:

Передаточная функция нейтрального объекта первого порядка:

В динамическом отношении такой объект представляет собой интегрирующее звено.

Нейтральным объектам первого порядка присущи только емкостные (инерционные) свойства, что выражается, например при регулировании уровня L, степенью влияния величины F_np—F_p на скорость dL/dt. Это влияние зависит от площади поперечного сечения аппарата. При большем значении А скорость изменения уровня меньше и наоборот (см. рис. II-5).

Для рассмотренного выше аппарата емкость равна

Из сравнения уравнений (II,6) и (II,16) следует, что емкость резервуара численно равна площади его горизонтального сечения. Единицей измерения емкости в данном случае является м².

Емкость объектов зависит от протекающих в них процессов. Так емкость тепловых объектов, в которых осуществляется теплообмен при регулировании в них температуры, находят по изменению теплового потока Δq, Вт, вызывающего приращение температуры T на 1 °С в течение 1 ч:

Емкость аппарата зависит от теплоемкости с_т, находящегося в нем продукта. Единицей измерения емкости теплового объекта является Дж/°С.

13. Математическая модель изменения уровня жидкости в резервуаре, из которого жидкость отводится самотёком. Переходные процессы в объекте.

Устойчивые объекты 1-го порядка. Если жидкость из рассмотренного выше резервуара не откачивать насосом, а отводить самотеком по трубопроводу, на котором имеется дополнительное гидравлическое сопротивление, например вентиль, то при рассогласовании потоков на входе и выходе регулируемая величина (уровень) будет самостоятельно устанавливаться в новом равновесном состоянии.

При ступенчатом увеличении притока жидкости F_пр а величину ΔF (рис. II-6) уровень L в аппарате в первый момент начнет изменяться, как и в случае нейтрального объекта (см. пунктир), со скоростью определяемой равенством (II,9). Но при повышении уровня возрастает гидростатический напор, что в свою очередь увеличит расход жидкости из аппарата F_p; его зависимость от уровня L:

где α — коэффициент расхода вентиля; А — площадь его проходного сечения; g — ускорение свободного падения.

Рис. II-6. Графическое изменение F_пр и F_р в устойчивом объекте первого порядка (а) и его переходная характеристика (б).

С увеличением F_p величина возмущения ΔF = F_пр — F_p, а, следовательно, и скорость изменения уровня уменьшаются. Со временем расход жидкости постепенно достигнет текущего значения притока, повышение ее уровня, изменяющегося по экспоненте, прекратится и наступит новое равновесное состояние объекта, но при более высоком значении уровня L_∞. Аналогичным образом при ступенчатом уменьшении F_np уровень L начнет понижаться, что обусловит уменьшение расхода F_p, вследствие уменьшения гидростатического напора. Со временем между расходом и притоком жидкости восстанавливается равенство, но при более низком уровне.

Устойчивость объектов объясняется наличием в них отрицательной обратной связи. В частности, в рассматриваемом объекте обратная связь определяется равенством (II,18).

Для нахождения передаточной функции звена обратной связи линеаризуем зависимость (II,18), разлагая ее в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами (L_o, F_po)

Откуда

Учитывая равенства (II,10) и (II,18), окончательно получим:

где k_oc= 1/2.

Таким образом, в данном случае обратная связь соответствует усилительному звену с коэффициентом усиления 1/2.

Структурная схема устойчивого объекта 1-го порядка приведена на рис. II-7. Интегрирующее звено с передаточной функцией 1/Т_εр охватывается звеном отрицательной обратной связи с передаточной функцией k_ос. Передаточная функция такого объекта имеет вид

где k=1/k_oc — коэффициент усиления объекта; T₀ = T_ε / k_ос - постоянная времени объекта, под которой понимают время, в течение которого выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости ее изменения в начальный момент времени. При t = T₀ выходная величина составляет 63% нового установившегося значения. Постоянная времени объекта определяется как проекция на ось времени отрезка касательной к экспоненте, заключенного между точкой касания и точкой пересечения касательной с линией установившегося значения выходной величины (см. рис. II-6,б). Длина этой проекции одинакова для касательных, проведенных к любой точке экспоненты.

Постоянная времени объекта Т_о определяет его динамические свойства. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в объекте, и наоборот.

В соответствии с передаточной функцией (11,20) уравнение динамики устойчивого объекта первого порядка имеет вид

Переходная характеристика этого объекта аналогично выражению (I,28) будет равна

Таким образом, рассматриваемый объект представляет собой апериодическое звено первого порядка, коэффициент усиления k которого равен величине, обратной коэффициенту усиления обратной связи, а постоянная времени Т₀ — отношению времени разгона интегрирующего звена к коэффициенту усиления обратной связи.

Емкостные свойства устойчивых объектов 1-го порядка аналогичны свойствам нейтральных объектов 1-го порядка.

Автоматические регуляторы. Классификация регуляторов по виду используемой энергии, законам регулирования, характеру регулирующего воздействия. Область применения, достоинства и недостатки.