Основные положения. Сущность операторного метода заключается в том, что функции времени f (t), которую называют оригиналом

Сущность операторного метода заключается в том, что функции времени f (t), которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F (p), которую называют изображением. Новая переменная p = s + jω является комплексной переменной.

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него [1,2]), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий u_C (0) и i_L (0), что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом на этапе определения постоянных интегрирования.

Изображение F (p) заданной функции f (t) определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.

Сокращенно соответствие между изображением и оригиналом обозначается как:

F (p) f (t).

Следует отметить, что если оригинал f (t) увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, встречающиеся на практике при расчете переходных процессов в электрических цепях, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл.1.2 приведены операторные соотношения для наиболее характерных функций, встречающихся при анализе переходных режимов в электрических цепях.

Таблица 1.2

f (t)	А = const	t				sin ωt	cos ωt
F (p)

Отметим некоторые свойства изображений, полученных прямым преобразованием Лапласа:

1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

2. При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

A f (t) AF (p).

С использованием этих свойств и данных табл.1.2, можно показать, например, что

.

Найдем изображения напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе.

Из курса математики известно изображение производной от функции f (t)

,

где f (0) – начальное значение функции f (t).

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать:

.

Отсюда получаем операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Известно также изображение интеграла от функции f (t)

.

Для напряжения на конденсаторе в общем случае можно записать:

.

Тогда его операторное изображение

Отсюда получаем операторное сопротивление конденсатора

.