Переход от изображений к оригиналам

Переход от полученного операторного изображения искомой функции к оригиналу может быть осуществлен несколькими способами:

1. С помощью обратного преобразования Лапласа

,

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями.

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить операторное изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего найти по таблице выражение оригинала.

Например, для операторного изображения тока в цепи на рис.1.22 можно записать

.

Полученное изображение приведено к табличному виду и в соответствии с данными табл.1.2 получаем оригинал

,

что совпадает с результатом, полученным для данной цепи в 1.5.1 классическим методом расчета.

3. С помощью формулы разложения.

Пусть операторное изображение F (p) искомой функции получено в виде отношения двух полиномов по степеням p

,

причем степень числителя меньше степени знаменателя (m < n), а полином M (p) = 0 не имеет кратных корней.

Это выражение можно представить в виде суммы простых дробей [1,2]

,

где p_k - k -й корень уравнения M (p) = 0.

Для определения коэффициентов A_k умножим обе части соотношения на (p - p_k):

.

При p → p_k получим

.

Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Отношение есть величина постоянная, а является изображением функции (см. табл.1.2).

Учитывая свойства изображений окончательно получаем выражение для оригинала

.

Полученное выражение представляет собой формулу (теорему) разложения. Формулой разложения широко пользуются на практике и ее принято считать основной формулой для перехода от изображения к функции времени.

Примечания.

1. Если среди корней уравнения М (р) = 0 имеется нулевой корень, то соответствующее ему слагаемое в формуле разложения представляет собой составляющую искомой функции времени, обусловленную действием источника постоянного напряжения или тока.

2. Коэффициенты в формуле разложения можно сопоставить с постоянными интегрирования A_k в классическом методе расчета.

3. Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем p = jω. Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, поэтому принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную – операторным.

4. Для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

; .