Рекурсивные методы оптимальной оценки случайных процессов

Для оценки случайных процессов Калманом и Бьюси разработана достаточно эффективная оптимальная в гауссовом и линейном приближениях процедура, получившая название «фильтра Калмана-Бьюси». В основе этой процедуры лежит математическая модель в виде уравнения состояния, и уравнения наблюдения. Сама же процедура оценки имеет следующий вид:

, (5.19)

где - коэффициент, обеспечивающий устойчивость и оптимальную скорость сходимости алгоритма к установившемуся состоянию. Как и коэффициент , входящий в процедуры (5.13), (5.15), (5.17), он определяет основную специфику сходимости того или иного алгоритма. Данный коэффициент в фильтре Калмана-Бьюси подлежит рекурсивному вычислению на каждом шаге согласно алгоритма

, (5.20)

Вычисление апостериорной дисперсии:

, (5.21)

Уравнение для априорной дисперсии:

, (5.22)

где - соответственно значения спектральных плотностей мощности порождающего шума и шума наблюдения . Значение соответствует апостериорной дисперсии ошибки оценки .

Следует отметить еще одно важное отличие фильтра Калмана-Бьюси от процедур (5.13), (5.15), (5.17). Это наличие множителя - матрицы состояния с элементами , которые определяют величину корреляционной связи между соседними отсчетными значениями наблюдаемого процесса и величину связи между компонентами i и j при i ¹ j. Здесь уместно отметить, что чем более коррелированными являются отсчеты наблюдаемого процесса тем выше качество получаемой оценки. На рис. 5.28 представлена структурная схема алгоритма оценки (5.19).

Приведем также структуру алгоритма Калмана-Бьюси для аналогового варианта. Уравнение состояния такого процесса выражается в дифференциальной форме

. (5.23)

Соответствующее уравнение оценки принимает вид:

, (5.24)

где - соответствующий коэффициент, определяющий устойчивость и максимальную скорость сходимости процедуры (5.24), - апостериорная дисперсия ошибки оценки, которая находится из решения дифференциального уравнения Риккати:

. (5.25)

На рис. 5.29 представлена структурная схема алгоритма оценки (5.24).

Характерно, что в выражение для апостериорной дисперсии , как видно из (5.25), не входят значения ни , ни , то есть зависит лишь от времени и параметров самого фильтра и параметров, а не значений наблюдаемого процесса.

Это дает возможность анализа качества оценки без проведения имитационного моделирования. Так на рис. 5.30 представлен график апостериорной дисперсии ошибки оценки. На рис. 5.31 показаны реализации процесса на входе канала, наблюдаемого процесса и оценки наблюдения.

Вместе с тем, реальные характеристики фильтра Калмана-Бьюси необходимо исследовать путем сопоставления результатов, как имитационного моделирования, так и аналитического исследования (5.25).

Процедуры оценки (5.19) и (5.24) должны быть сопоставлены соответствующим статистическим параметрам тех или иных характеристик сигналов и шумов. Так матрица определяет скорость изменения оцениваемых характеристик. Аналогично должны быть выбраны и параметры матриц и . На практике часто эти параметры не всегда точно известны. Неточность выбора всех этих параметров приводит к потерям эффективности фильтрации. Во многих практических случаях сознательно идут на упрощение процедур, выбирая коэффициенты матриц независимыми от времени: , , . Эти упрощения в свою очередь приводит к дополнительным потерям точности. Однако эти упрощения существенно снижают громоздкость, многомерность векторных процедур, что часто оказывается оправданным. Так, редко можно указать характеристики и др., поэтому часто выбор упрощенных значений может привести к меньшим потерям, нежели при попытке указать модели реальной статистической обстановки.

Рассмотренные алгоритмы Калмана-Бьюси, обеспечивающие оптимальную оценку случайного процесса , являются линейными процедурами. На практике задачу оценки не всегда удается свести к линейной процедуре. Так, оценка фазы сигналов при решении задачи синхронизации в технологии PDH, ATM, параметров трафика, величину загрузки буферов в ЧНН в ряде случаев нельзя свести к линейной процедуре. Кроме того, сам процесс наблюдения , обеспечиваемый по каналам ОКС с учетом процессов модуляции, кодирования, других ограничений, не выражается в идеально линейной форме. Все это требует рассмотрения так же и нелинейных алгоритмов оценки параметров случайных процессов.

Задача синтеза нелинейных алгоритмов представляется более сложной и требует привлечения в каждом конкретном случае специфических решений. Вместе с тем, эти решения следует искать в рамках рекурсивных методов, что обеспечит возможность комплексных методов измерений, наблюдений и оценивания. Такие решения можно найти, используя марковскую теорию нелинейной фильтрации, разработанную Колмогоровым, Стратоновичем и развитую Тихоновым.