Собственные структуры

Оптимальность разложения по базисным функциям можно определить по тому или иному критерию в зависимости от решаемой задачи. Эффективность аппроксимации случайного процесса оценивается по критерию минимума среднеквадратической погрешности. Минимизация данной погрешности достигается, если базисными являются собственные векторы ковариационной матрицы распределения процесса, который получил название - разложение Карунена-Лоева.

Разложения в ряд Карунена-Лоева сигнала , заданного на промежутке времени от до с конечной энергией , представляется следующим образом:

,

причем

,

а система значений представляет собой базис Карунена-Лоева - собственные векторы ковариационной матрицы сигнала . Отсчеты являются коэффициентами ряда и имеют дисперсии , составляющие энергетический ряд

.

На основе этого построено и дискретное преобразование Карунена-Лоева. В результате обработки сигналов одной из основных операций является уменьшение избытка информации.