Вихревые линии и вихревые трубки

Вихри скоростей образуют вихревое поле, в котором находятся вихревые линии и вихревые трубки. Из определения вихревой линии и вихревой трубки следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.

Вводя понятие потока вектора вихря скорости, равного

, (5.10)

где – площадь поверхности; – нормаль к поверхности, найдем, что поток вектора вихря скорости через вихревую поверхность будет равен нулю:

(5.11)

Поток вектора вихря скорости сквозь произвольное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки (рис. 5.4):

(5.12)

Рис. 5.4. Вихревая трубка

Это утверждение составляет вторую теорему Гельмгольца.

Поток вихря характеризует интенсивность вихревой трубки

(5.13)

При постоянной величине вихря получим

, (5.14)

откуда следует:

1) сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, т.к. бесконечно большая скорость вращения частиц физически невозможна;

2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность.

Другой важной теоремой о вихрях является теорема Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку, т.е.

, (5.15)

где – длина контура.