Классификация кривых второго порядка на плоскости

Основные утверждения

Пусть в декартовой системе координат задано уравнение

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + Ey + f =0.

Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой

это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1. – эллипс.

2. – мнимый эллипс (пустое множество).

3. a² x² + b²y ² = 0 – пара мнимых пересекающихся прямых 1 точка.

4. – гипербола.

5. a² x² - b²y ² = 1 – пара пересекающихся прямых.

6. у² ='2рх – парабола.

7. у² – а² = 0 – пара параллельных прямых.

8. y² + а² = 0 – пара мнимых пересекающихся прямых (пустое множество).

9. у ² = 0 – пара совпавших прямых.

Задача 101 (с решением). Пусть в некоторой прямоугольной системе координат кривая второго порядка задана уравнением

.

Найти ее канонический вид и каноническую систему координат.

Решение. Здесь A= 5, B= 2, C= 8. В данном случае и поэтому надо осуществлять поворот исходной системы координат на угол, который определяется условием

или

Известна связь между и :

откуда получаем уравнение

Для имеем 2 значения Выберем одно из них, например,

Для того, чтобы применять формулы связи координат одной и той же точки при повороте одной прямоугольной системе координат относительно другой:

надо знать такие функции угла поворота φ, как и . Вспоминаем формулы связи между

Можно брать либо обе формулы со знаком +, либо со знаком -.

Имеем в данном случае при выборе знака +:

Итак, связь координат осуществляется по формуле

В этой новой системе координат имеем уравнение

Раскрываем скобки: Выделяем полные квадраты:

Если ввести новые переменные то в этих переменных наше уравнение имеет канонический вид

Для того, чтобы построить график данной кривой, вычисляем связь между координатами в исходной системе координат и самой последней из рассмотренных:

Эти формулы говорят о том, что начало новой системы координат имеет во второй системе координат координаты (2,3), базисные векторы имеют во втором базисе координаты .

Для более точного изображения эллипса в старой системе координат найдем его точки пересечения с осями координат: при x =0

имеем 2 точки пересечения; если положить y =0, то точки пересечения определяются из уравнения

точек пересечения с осью абсцисс нет.

Задача 102. Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

1)

2)