ВВЕДЕНИЕ. Настоящее пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование» математических профилей

Настоящее пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование» математических профилей, то есть для будущих учителей математики. Целью дисциплины «Числовые системы» является детальное знакомство будущих учителей со строгими теоретическими обоснованиями всех свойств числовых систем, хорошо известных из школьного курса, но не доказываемых в рамках школы. Так, хорошо известный даже первокласснику коммутативный закон сложения, который носит в рамках школьного курса название «переместительный» (формулируется: «от перемены мест слагаемых сумма не меняется»), никогда и никак не доказывается в школьной программе. Понятно, что неразвитость абстрактно-логического мышления первоклассников не позволяет им проводить какие-либо доказательства, они даже не знают что это такое. Однако у учащихся старших классов, от которых учитель уже обязан требовать умения доказывать те или иные теоремы геометрии и алгебры, может возникнуть разумный вопрос – почему же более простые свойства, изучаемые в начальной школе, не доказывались, а теперь от него требуются какие-то доказательства. Учитель не должен становится в тупик при возникновении у учеников просьбы доказать, что а + b = b + a, или что «минус на минус даёт плюс». Глубокой методической (и логической!) ошибкой будет и применение примеров в качестве обоснования свойств, что нередко наблюдается у самих учеников. Напротив, учитель может и должен использовать возникновение подобных вопросов для усиления формирующегося познавательного интереса у учащихся, их математической культуры. Ведь, несмотря на то, что доказательства свойств натуральных чисел довольно сложны для «среднего школьника», они вполне доступны для ученика, интересующегося математикой, и могут послужить поводом для знакомства его с методом математической индукции, рассмотрению которого отводится существенное внимание в первой части пособия.

В настоящем пособии приведены строгие аксиоматические определения основных числовых систем: натуральных, целых, рациональных, действительных чисел, систематизированы свойства этих систем, даны доказательства их свойств. Система натуральных чисел разобрана наиболее подробно. Этой системе отводится первая часть пособия. Множество целых чисел обладает алгебраической структурой кольца, поэтому многие свойства данной числовой системы и их доказательства уже знакомы тем, кто изучал базовый курс алгебры (это просто свойства колец), эти доказательства повторяются в пособии, но несколько менее подробно. Аксиоматическая теория рациональных чисел во многих отношениях аналогична теории целых чисел, поэтому эта теория рассмотрена кратко, с акцентом на отличительные черты данной системы. Теория действительных чисел достаточно глубоко затрагивается в рамках вводного курса математического анализа, в настоящем пособии систематизируются сведения о поле действительных чисел, рассматривается аксиоматика упорядоченных полей. В последней части пособия представлены также краткие сведения о комплексных числах и дальнейшем их обобщении – системе кватернионов.