Стабильное обобщенное равновесие в условиях неопределенности

Представляется достаточно естественным утверждение, что стабильными являются лишь такие равновесные ситуации, которые выгодны всем участникам конфликта. В то же время решение о выгодности или невыгодности конкретного исхода конфликта существенно зависит от того, с чем его сравнивать. В настоящей работе формализация понятия «стабильное равновесие» дается на основе формулирования системы условий, выполнение каждого из которых повышает жизнеспособность принимаемых решений. При этом информационное расширение модели ССС (т.е. углубление взаимной информированности подсистем-участников конфликта за счет установления определенных правил выбора стратегий с обменом информацией) обеспечивает целенаправленную стабилизацию желаемых исходов.

Определение 8. Пусть - множество обобщенных равновесий коалиционной игры в условиях неопределенности (2). Ситуация называется стабильным обобщенным равновесием игры (2), если для любого , имеет место

. (30)

Множество всех обобщенных равновесий, обладающих свойством (30), будем называть множеством стабильных обобщенных равновесий коалиционной игры в условиях неопределенности (2).

Соотношение (30) означает, что в игре (2) не существует ситуации обобщенного равновесия, более предпочтительной, чем одновременно для всех коалиций относительно конуса доминирования .

Возможность целенаправленной стабилизации множества ситуаций обобщенного равновесия игры (2) определяется следующей теоремой.

Теорема 3. Пусть - множество обобщенных равновесий коалиционной игры в условиях неопределенности (2).

Тогда:

1. Множество стабильных обобщенных равновесий не пусто.

2. Множество совпадает с ядром отношения предпочтения, заданного конусом доминирования , на множестве .

3. Справедливо включение

, (31)

где - множество оптимальных по конусу точек множества .

Доказательство. Докажем п. 1 утверждения теоремы. Пусть - обобщенное равновесие игры (2), а - допустимая ситуация, удовлетворяющая условию

. (32)

Покажем, что ситуация также является обобщенным равновесием игры (2).

Рассмотрим произвольную коалицию и ее произвольную допустимую стратегию . Так как - обобщенное равновесие в условиях неопределенности, то существует стратегия контркоалиции такая, что

. (33)

Покажем, что является также стратегией «наказания» для коалиции со стороны контркоалиции в ситуации , если коалиция будет применять стратегию . Предположим обратное, т.е.

. (34)

Тогда из (34) с учетом (32) следует, что

. (35)

Получили противоречие между (35) и (33). Следовательно предположение (34) не верно. А это означает, что - обобщенное равновесие игры (2).

Если , то из всех , удовлетворяющих условию (32), выберем , для которого

. (36)

Это можно сделать всегда, т.к. известно, что множество обладает свойством внешней устойчивости. Включение (36) означает, что - стабильное обобщенное равновесие коалиционной игры в условиях неопределенности (2). Таким образом, п. 1 утверждения теоремы доказан.

Докажем п. 2 утверждения теоремы. Покажем, что для любого справедливо

. (37)

По определению

. (38)

В то же время, по определению стабильного равновесия, для любого справедливо включение (36).

Если (37) не выполняется, то это означает, что можно улучшить относительно конуса доминирования . Т.е. не выполняется включение (36). Получили противоречие, откуда следует справедливость включения (37).

Далее, покажем, что любое , для которого справедливо включение (37), является стабильным обобщенным равновесием игры (2). Предположим, что не является стабильным равновесием, т.е. для него не выполняется включение (36). Это означает, что можно улучшить относительно конуса доминирования . Т.е. существует , для которого

. (39)

Но из (39) следует, что для не выполняется включение (37). Получили противоречие. Следовательно - стабильное обобщенное равновесие.

Таким образом, п. 2 утверждения теоремы доказан.

Тот факт, что из справедливости (37) следует справедливость (36) означает, что

. (40)

Включение (40) эквивалентно также включению (31). Следовательно утверждение п. 3 теоремы справедливо.

Теорема доказана.

Свойства стабильного обобщенного равновесия, сформулированные в теореме 3, могут быть использованы при формировании конструктивного подхода к построению множества стабильных обобщенных равновесий коалиционной игры в условиях неопределенности (2).

Введенные выше понятия равновесия в условиях неопределенности основаны на принципе гарантированного результата [3], развивают концепцию пессимистического многозначного равновесия [11], что, в отличие от [6, 7], позволяет учитывать наихудшие значения всех показателей эффективности, возможные на всем множестве допустимых значений неопределенного фактора. В [6] различные понятия равновесия в условиях неопределенности в сочетании, в частности, с принципом минимаксного сожаления Сэвиджа [7] ориентированы на конкретное значение неопределенного фактора (которое априори не известно), что приводит к заниженным векторным рискам, а это неприемлемо при исследовании безопасных режимов функционирования технических, экологических и др. ССС.