Равновесие относительно системы конусов доминирования в условиях неопределенности

Ситуацию в игре (2) условиях неопределенности будем оценивать векторным показателем , который определим следующим образом:

, (4)

где , , а для любого другого вектора , удовлетворяющего включению

, (5)

имеет место

. (6)

При этом , - векторный показатель эффективности коалиции в условиях неопределенности. определяет в критериальном пространстве «наихудшую» для всех коалиций (относительно конуса доминирования ) точку, соответствующую ситуации .

Определение 1. Будем говорить, что ситуация
-доминирует ситуацию в условиях неопределенности, если

. (7)

Определение 2. Ситуация называется -равновесием коалиционной игры в условиях неопределенности (1), если для любой стратегии ситуация не является -доминирующей по отношению к ситуации , т.е.

(8)

Определение 3. Ситуация называется равновесием относительно системы конусов коалиционной игры в условиях неопределенности (2), если для любой коалиции она является -равновесием вида (8).

Эффективность применения коалицией стратегии в игре в условиях неопределенности (2) будем оценивать векторным показателем , который определим следующим образом:

, (9)

а для любого другого вектора , удовлетворяющего включению

, (10)

имеет место

. (11)

Определение 4. Стратегия называется гарантирующей стратегией (векторным минимаксом) коалиции относительно конуса доминирования в коалиционной игре в условиях неопределенности (2), если для любого

. (12)

Определение 5. Множество , содержащее все , обладающие свойством (12), называется множеством гарантирующих стратегий (векторных минимаксов) коалиции относительно конуса доминирования в коалиционной игре в условиях неопределенности (2).

Гарантирующее свойство равновесия относительно системы конусов игры (2) может быть сформулировано в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть - равновесие относительно системы конусов в коалиционной игре в условиях неопределенности (2). Тогда для любой коалиции и любой ее гарантирующей стратегии относительно конуса доминирования имеет место

. (13)

Доказательство. Предположим, что существует коалиция и ее стратегия , для которых выполняется включение

. (14)

С учетом свойства -равновесия (8) имеем:

. (15)

С другой стороны, по определению, в соответствии с (9) для любой коалиции справедливо

, (16)

а следовательно включение (16) выполняется для отдельного элемента :

. (17)

С учетом предположения (14) и на основании (17) имеем:

. (18)

В то же время, по определению, в соответствии с (4):

. (19)

Следовательно

. (20)

Получили противоречие между (20) и (15).

Утверждение теоремы доказано.

Замечание 1. Если для любого , где - неположительный ортант в пространстве , то равновесие относительно системы конусов доминирования в условиях неопределенности превращается в векторное равновесие по Нэшу в условиях неопределенности.