Определение сил инерции

Как известно из теоретической механики, элементарные силы инерции можно привести к главному вектору и главному моменту :

, (4.1)

где m – масса звена;

a _S – ускорение центра масс;

– угловое ускорение звена;

– момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевой момент инерции).

Знак «минус» в формулах означает, что сила инерции направлена против ускорения (момент сил – против углового ускорения).

Следует отметить, что главный вектор и главный момент сил инерции не имеют физического содержания, и в действительности к звену эти силы не приложены. Они входят в уравнения кинетостатики как чисто математические величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев, и условно относятся к разряду внешних сил.

В частных случаях плоское движение может быть вращательным или поступательным, при этом возникает только момент сил инерции (вращение звена с ускорением) или же только сила инерции (поступательное неравно­мерное движение).

С учётом сил инерции уравнения кинетостатики для каждого звена имеют вид:

, (4.2)

где , – внешние силы и моменты пар сил, приложенные к i -му звену.

Изучение сил инерции, развивающихся при движении звеньев механизма, осуществляется в зависимости от характера движения рассматриваемого звена.

Рассмотрим определение сил инерции при поступательном движении (рис. 18).

Рис. 18.К определению сил инерции при поступательном движении

Дано: m; ; = 0.

Решение:

Вывод: При определении сил инерции звена, совершающего поступательное движение, учитывается только сила инерции с модулем, равным произведению массы на ускорение центра тяжести. Направление силы инерции противоположно ускорению, точка приложения – центр тяжести звена.

Рассмотрим определение сил инерции при вращательном движении.

1. Вращательное движение с постоянной угловой скоростью уравновешенного звена; центр тяжести совпадает с центром вращения (рис. 19).

Рис. 19. К определению сил инерции при вращательном движении
с постоянной угловой скоростью

Дано: m; ; = 0; aS = 0.

Решение:

Вывод: Инерционности нет.

2. Вращательное движение с переменной угловой скоростью уравновешенного звена; центр тяжести совпадает с центром вращения (рис. 20).

Рис. 20. К определению сил инерции при вращательном движении
с переменной угловой скоростью

Дано: m; ; ; aS = 0.

Решение:

Вывод: В этом случае действует только момент от сил инерции.

3. Вращательное движение с переменной угловой скоростью неуравновешенного звена; центр тяжести не совпадает с центром вращения (рис. 21).

Рис. 21. К определению сил инерции при вращательном движении
с переменной угловой скоростью неуравновешенного звена

Дано: m; J_S = mρ ²; a_S; h – плечо силы; – радиус инерции.

K – центр качания физического маятника, расстояние до которого от центра вращения A определяется по формуле:

. (4.3)

Решение:

Сумма моментов от сил инерции, действующих на звено, равна

. (4.4)

Вывод: Согласно формуле (4.4) инерционность звена в данном случае учитывается только силой инерции с точкой приложения в точке K.

Положение центра качения маятника нередко имеет существенное значение в процессе проектирования многих машин. Можно использовать возникающую силу инерции для совершения полезной работы и тем самым уменьшить давление на шарниры.

Рассмотрим определение сил инерции при сложном движении.

1. Метод приведения к одной силе (рис. 22а).

Рис. 22а. К методу приведения к одной силе

Дано: m; J_S и план ускорений.

Решение: Звено AB совершает сложное движение, которое можно представить как состоящее из двух элементарных движений:

- переносного поступательного движения вместе с полюсом A;

- относительного вращения звена вокруг полюса A:

;

;

.

Вывод: В случае сложного движения звена инерционность звена можно представить в виде одной силы инерции , абсолютная величина которой равна ma_S (произведению массы на ускорение центра тяжести) и направление противоположно . Точка приложения – точка Т, положение которой определяется следующим образом:

1) через центр тяжести S проводим линию параллельно ускорению точки, принятой за полюс (точка A) – ;

2) находим положение центра качания физического маятника К по формуле (4.3);

3) через К проводим линию параллельно вектору ускорения центра тяжести относительно полюса – ;

4) пересечение этих линий определяет положение точки Т.

2. Метод приведения к силе и моменту (рис. 22б).

Рис. 22б. К методу приведения к силе и моменту

Силы инерции звена можно привести к одной силе инерции , приложенной в центре тяжести звена и моменту инерции звена относительно центра тяжести :

4.5. Условие статической определимости
кинематической цепи

Плоская кинематическая цепь может состоять из кинематических пар
5-го класса (вращательных, поступательных) и пар 4-го класса (высших, у которых звенья соприкасаются в точке).

Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух соприкасающихся тел при отсутствии трения направлена по общей нормали к их поверхности. В поступательной паре (рис. 23, а) реакции направлены перпендикулярно направляющей. Неизвестных здесь две: величина силы F_O1 и точка ее приложения (расстояние h).

а) б) в)

Рис. 23. К определению условия статической определимости
кинематической цепи

Во вращательной паре равнодействующая сил реакции направлена по нормали к цилиндрической поверхности, т. е. проходит через центр шарнира (рис. 41, б). Неизвестными являются: направление реакции (угол ) и величина силы. Таким образом, эта пара также вносит в уравнения кинетостатики две неизвестных.

Следовательно, от каждой силы, действующей в любой низшей кинематиче­ской паре, в расчетных уравнениях (4.2) появляются две неизвестные величины.

В высших парах сила взаимодействия между звеньями направлена по общей нормали и приложена в точке касания, т. е. известны и направление, и точка приложения силы (рис. 41, в), неизвестна лишь ее величина. Поэтому в расчетных уравнениях члены, образованные силами взаимодействия в высших парах, содержат по одному неизвестному.

В общем случае плоская кинематическая цепь содержит p ₅ пар 5-го класса (низших) и p ₄ пар 4-го класса (высших), поэтому общее число неизвестных равно:

N_H = 2 p ₅ + p ₄. (4.5)

Число уравнений статики для каждого звена плоского механизма равно трем, значит, общее число уравнений для n подвижных звеньев:

N_У = 3 n. (4.6)

Чтобы система была статически определимой, число уравнений (N_У) должно быть равно числу неизвестных (N_H). Приравниваем (4.5) и (4.6), после чего получим:

3 n = 2 p ₅ + p ₄, или 3 n – 2 p ₅ – p ₄ = 0. (4.7)

Если заменить высшие пары низшими, то 3 n – 2 p ₅ = 0.

Из этого можно сделать вывод, что группы Ассура являются статически определимыми.

Из выражения (4.7) определяем соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар 5-го класса: n = 2/3 p ₅.

На основании вышеизложенного формулируется общая методика силового анализа: расчет следует проводить по структурным группам, начиная с наиболее удаленной от начального звена и заканчивая начальным звеном (механизмом I класса). Таким образом, силовой расчет проводится в порядке, обратном кинематическому.