Общее определение функции в XIX в. Дальнейшее развитие понятия функции

Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнении, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768- 1830), занимавшийся в основном математической фи­зикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг. мемуарах по теории распространения тепла о твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на раз­личных участках различными аналитическими выражениями. Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением, В своем «Курсе алгебраического анализа», опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими фун­кциями, для определения которых очень сложно или даже невоз­можно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Пос­ледний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 г. в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое зйлеровское определение функции в 1755 г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от называть число, которое дастся для каждого и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной …

Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: « есть функция переменной (на отрезке ), если каждому значению (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение , причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая «функция Дирихле» :

Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствии, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом; если каждому элементу множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция , или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы множества называют значениями аргумента, а элементы у множества - значениями функции; во втором случае — прообразы, - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значении , которые, возможно, и не заполняют отрезка , о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал , заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

Вот простой пример. Пусть — треугольник, - прямая в плоскости треугольника, рассматриваемая как ось сим­метрии. Каждой точке к (), лежащей внутри или на сторонах треугольника, ставим в соответствие точку , определенную указанным преобразованием симметрии. Таким образом, множество точек треугольника отображено на множество точек треугольника . Налицо имеется функция , заданная на множестве (значения аргумента, прообразы) точек треугольника . Это так называемая «область определе­ния функции». Симметричный треугольник представляет множество значений функции (образов). Характеристика функции в данном случае указывает на осевую симметрию относительно данной прямой .

Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшем классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака (род. в 1902 г.), крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали

в 30—40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температу­ру тела в точке практически определить нельзя, в то время как сред­няя температура в некоторой области тела имеет конкретный физи­ческий смысл.

В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев (ныне академик) впервые ввел понятие обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную им теорию обобщенных функций к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций (называемых также распределениями) внесли французский ма­тематик Лоран Шварц и его ученики и последователи, советские математики И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и др.

Заключение. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика не завершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.