Создание Лейбницем идей дифференциального исчисления

Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1.7.1646, Лейпциг, – 14.11.1716, Ганновер), немецкий философ-идеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Изучал юриспруденцию и философию в Лейпцигском и Йенском университетах. В 1672 отправился с дипломатической миссией в Париж, а через четыре года возвратился в Германию, состоя в последующие 40 лет на службе у ганноверских герцогов, сначала в качестве придворного библиотекаря, затем – герцогского историографа и тайного советника юстиции. В 1700 стал первым президентом созданного по его инициативе Берлинского научного общества. В 1711, 1712 и 1716 встречался с Петром I, разработал ряд проектов по развитию образования и государственного управления в России. Вёл обширную переписку почти со всеми крупнейшими учёными, а также политическими деятелями.

В философии Лейбниц явился завершителем философии XVII в., предшественником немецкой классической философии. Его философская система сложилась к 1685 как итог двадцатилетней эволюции, в процессе которой Лейбниц критически переработал основные идеи Демокрита, Платона, Августина, Декарта, Гоббса, Спинозы и др. Лейбниц стремился синтезировать всё рациональное в предшествующей философии с новейшим научным знанием на основе предложенной им методологии, важнейшими требованиями которой были универсальность и строгость философских рассуждений. Совершенство действительного мира он понимал как «гармонию сущности и существования»: оптимальность отношений между разнообразием существующих вещей и действий природы и их упорядоченностью; минимум средств при максимуме результата. Следствиями последнего онтологического принципа является ряд других принципов: принцип единообразия законов природы, или всеобщей взаимосвязи, закон непрерывности, принцип тождества неразличимых, а также принципы всеобщего изменения и развития, простоты, полноты и др.

В духе рационализма XVII в. Лейбниц различал мир умопостигаемый, или мир истинно сущего (метафизическая реальность), и мир чувственный, или только являющийся (феноменальный) физический мир. Реальный мир, по Лейбницу, состоит из бесчисленных психических деятельных субстанций, неделимых первоэлементов бытия – монад, которые находятся между собой в отношении предустановленной гармонии. Гармония (взаимнооднозначное соответствие) между монадами была изначально установлена богом, когда тот избрал для существования данный «наилучший из возможных миров». В силу этой гармонии, хотя ни одна монада не может влиять на другие (монады как субстанции не зависят друг от друга), тем не менее развитие каждой из них находится в полном соответствии с развитием других и всего мира в целом. Это происходит благодаря заложенной богом способности монад представлять, воспринимать, или выражать и отражать, все другие монады и весь мир. Деятельность монад состоит в смене восприятий (перцепций) и определяется индивидуальным «стремлением» (аппетицией) монады к новым восприятиям. Хотя вся эта деятельность исходит из самой монады, она в то же время есть развёртывание изначально заложенной в монаде индивидуальной программы, «полного индивидуального понятия», которое во всех подробностях бог мыслил, прежде чем сотворил данный мир. Т. о., все действия монад полностью взаимосвязаны и предопределены. Монады образуют восходящую иерархию сообразно тому, насколько ясно и отчётливо они представляют мир. В этой иерархии особое место занимают монады, которые способны не только к восприятию, перцепции, но и к самосознанию, апперцепции и к которым Лейбниц относил души людей.

Мир физический, как считал Лейбниц, существует только как несовершенное, чувственное выражение истинного мира монад, как феномен познающего объективный мир человека. Однако, поскольку физические феномены в конце концов порождаются стоящими за ними реальными монадами, Лейбниц считал их «хорошо обоснованными», оправдывая тем самым значимость физических наук. В качестве таких «хорошо обоснованных» феноменов ученый рассматривал пространство, материю, время, массу, движение, причинность, взаимодействие, как они понимались в физике и механике его времени.

В физике Лейбниц развивал учение об относительности пространства, времени и движения. Он установил в качестве количественной меры движения «живую силу» (кинетическую энергию) – произведение массы тела на квадрат скорости, в противоположность Декарту, который считал мерой движения произведение массы на скорость – «мёртвую силу», как назвал её Лейбниц. Использовав отчасти результаты Гюйгенса, Лейбниц открыл закон сохранения «живых сил», явившийся первой формулировкой закона сохранения энергии, а также высказал идею о превращении одних видов энергии в другие. Исходя из философского принципа оптимальности всех действий природы, Лейбниц сформулировал один из важнейших вариационных принципов физики – «принцип наименьшего действия» (позднее – принцип Мопертюи). Ему принадлежит также ряд открытий в специальных разделах физики: в теории упругости, теории колебаний, в частности открытие формулы для расчёта прочности балок и т.д.

В логике Лейбниц развил учение об анализе и синтезе, впервые сформулировал закон достаточного основания, ему принадлежит также принятая в современной логике формулировка закона тождества. В его работе «Об искусстве комбинаторики», написанной в 1666, предвосхищены некоторые моменты современной математической логики; Лейбниц выдвинул идею применения в логике математической символики и построений логических исчислений, поставил задачу логического обоснования математики, предложил использовать бинарную систему счисления для целей вычислительной математики. Лейбниц впервые высказал мысль о возможности машинного моделирования человеческих функций; ввёл термин «модель».

В математике важнейшей заслугой Лейбница является разработка (наряду с Ньютоном и независимо от него) дифференциального и интегрального исчисления. Первые результаты были получены Лейбницем в 1675 под влиянием Гюйгенса и на основе работ Паскаля, Декарта, Валлиса и Меркатора. Систематический очерк дифференциального исчисления был впервые опубликован в 1684, интегрального – в 1686. Здесь давались определения дифференциала и интеграла, были введены знаки для дифференциала d и интеграла приводились правила дифференцирования суммы, произведения, частного, любой постоянной степени, функции от функции (инвариантность первого дифференциала), правила отыскания и различения (с помощью второго дифференциала) экстремальных точек кривых и отыскание точек перегиба, устанавливался взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования. Применяя своё исчисление к ряду задач механики (о циклоиде, цепной линии, брахистохроне и др.), Лейбниц наряду с Гюйгенсом и братьями Бернулли вплотную подходит к созданию вариационного исчисления (1686–96). В дальнейших работах Лейбниц указал (1695) формулу для многократного дифференцирования произведения (формула Лейбница) и правила дифференцирования ряда важнейших трансцендентных функций, положил начало (1702–03) интегрированию рациональных дробей. Лейбниц широко пользовался разложением функций в бесконечные степенные ряды, установил признак сходимости знакочередующегося ряда, дал решение в квадратурах некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений. Лейбниц ввёл термины «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм» (в смысле, близком к современному) и др. Хотя предпринятые Лейбницем попытки логического обоснования дифференциального исчисления нельзя признать успешными, его ясное понимание существа новых аналитических методов и всесторонняя разработка аппарата исчисления способствовали тому, что именно его вариант исчисления во многом определил дальнейшее развитие математического анализа. Кроме анализа, Лейбниц сделал ряд важных открытий в других областях математики: в комбинаторике, алгебре (начала теории определителей), в геометрии, где он заложил основы теории соприкосновения кривых (1686), разрабатывал одновременно с Гюйгенсом теорию огибающих семейства кривых (1692–94), выдвинул идею геометрических исчислений.

В работе «Протогея» (1693) Лейбниц высказал мысль об эволюции Земли и обобщил собранный им материал в области палеонтологии. В биологию Лейбниц ввёл идею целостности органических систем, принцип несводимости органического к механическому; эволюцию он понимал как непрерывное развёртывание переформированных зародышей. В психологии ученый выдвинул понятие бессознательно «малых перцепций» и развил учение о бессознательной психической жизни.

В языкознании Лейбниц создал теорию исторического происхождения языков, дал их генеалогическую классификацию, развил учение о происхождении названий. Лейбниц явился одним из создателей немецкого философского и научного лексикона.

Основные философские сочинения: «Рассуждение о метафизике» (1685), «Новая система природы» (1695), «Новые опыты о человеческом разуме» (1704), «Теодицея» (1710), «Монадология» (1714). Основные математические сочинения: «Об истинном отношении круга к квадрату» (1682), «Новый метод максимумов и минимумов» (1684), «О скрытой геометрии и анализе неделимых...» (1686). Физические воззрения Лейбница изложены, в частности, в работах «Доказательство памятной ошибки Декарта» (1686), «Очерк динамики» (1695), политические и юридические идеи – в сочинениях «Трактат о праве...» (1667), «Христианнейший Марс...» (1680), «Кодекс международного дипломатического права» (1693) и др.

Математические исследования Карла Вейерштрасса.

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815—1897) родился 31 октября 1815 г. в городе Остенфельде в семье заведующего казначейством. Первоначальное образование он получил в Падерборнской гимназии, по окончании которой обучался в Боннском университете. Однако университет не пробудил в нем желания заняться развитием математических идей, хотя Вейерштрасс всегда имел тягу к математическим наукам: в Бонне совсем не читалось чисто математических курсов, а математика связывалась с физикой. Но время пребывания в университете Вейерштрасс использовал для самостоятельного изучения математических вопросов и достиг в этом отношении больших результатов. Услышав, что математик Гудерман, живущий в Мюнстере, усиленно работает над теорией эллиптических функций, Вейерштрасс в 1839 г. переселился в Мюнстер. В этом городе Вейерштрасс заинтересовался так называемыми модулярными функциями, которые являются обратными по отношению к интегралу

где — модуль.

В 1841 г. Вейерштрасс написал работу «О разложении модулярных функций», которая дала ему возможность добиться звания учителя средней школы. С этих пор в течение 15 лет Вейерштрасс работал преподавателем в различных городках Германии. В 1856 г. он стал экстраординарным, а затем, с 1864 г.,— ординарным профессором Берлинского университета.

Большинство работ Вейерштрасса при его жизни не печата­лось, а лишь излагалось им на лекциях, и, таким образом, его идеи получали распространение только посредством лекций, читаемых им в университете.

Основные интересы Вейерштрасса сосредоточивались на проблемах математического анализа, причем он совершенно не признавал геометрических методов построения этой дисциплины. Интегралы Абеля привели его к более глубоким исследованиям вопроса о функциях. Многочисленные выводы, к которым при этом пришел Вейерштрасс, в наше время вошли в курсы математического анализа и теории функций. Им изучены вопросы о гранях числовых множеств и о предельных точках, сформулировано свойство функций, непрерывной на замкнутом отрезке, достигать своей верхней и нижней грани. Им разработана теория аналитических функций, в основу которой положена разложимость функции в степенной ряд. В теории рядов мы имеем критерий Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда. Развитие теории аналитических функций дало возможность Вейерштрассу обосновать некоторые вопросы, связанные с изолированными особыми точками аналитической функции. Так, известна теорема Вейерштрасса, выявляющая поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки.

Проводя многочисленные исследования в области анализа, Вейерштрасс лично не прилагал развиваемой им теории к вопросам физики, но поощрял такие работы у своих учеников. Так, знаменитый русский математик Софья Васильевна Кова­левская, бывшая ученицей Вейерштрасса, прилагала математические теории к таким вопросам, как решение задачи о вра­щении твердого тела около неподвижной точки, о преломлении света в кристаллических средах, о кольцах Сатурна и пр.

Создание теории бесконечных множеств и трансфинитных чисел принадлежит Г. Кантору, профессору университета в Галле. Серия его работ на эту тему последовала вслед за работами по теории действительного числа. Он доказал (1874) неэквивалентность множеств рациональных и действительных чисел. Через несколько лет (1878) в его трудах было введено общее понятие мощности множества, разработаны основы отображения и сравнения множеств и доказана равномощность множества точек линейного континуума и точек - мерного многообразия. Систематическая разработка теории множеств была завершена Кантором в последующие пять лет(1879—1884). При этом он ввел понятие предельной точки, производного множества, пример совершенного множества, получившего его имя (1883), высказал континуум — гипотезу и т. п.

Канторово определение действительного числа идентифицирует последнее со сходящейся последовательностью рациональных чисел. Это определение, как и предыдущее, опирается на абстракцию актуальной бесконечности и основывается на анализе понятия непрерывности. Подход к определению непрерывности был различен. Дедекиндово определение базируется на упорядоченности множества рациональных чисел. Определение же Кантора включает рассмотрения разностей, расстояний между элементами, что соответствует природе понятия сходимости. Однако оба подхода к определению непрерывности эквивалентны, поскольку вещественные числа строятся на основе системы рациональных чисел.

Воззрения берлинского профессора К. Вейерштрасса на природу действительного числа составляли часть его общего плана построения математического анализа, понимаемого в широком смысле, на возможно более строгих основах. Вейерштрасс ввел в математический анализ много важнейших результатов: систематическое использование понятий верхней и нижней грани числовых множеств, учение о предельных точках, обоснование свойства функции, непрерывной на отрезке, достигать своей верхней и нижней грани, построение функции, не имеющей производной ни в одной точке, до­казательство возможности разложения непрерывной на отрезке функции в равномерно сходящийся ряд многочленов и др. В этой стройной и строгой системе математического анализа примерно к 1880 г. был выработан современный вид опре­делений и аппарат доказательств, опирающийся на условно-дедуктивные суждения («пусть задано , тогда можно выбрать такое , что...») и соответствующий символизм. Теория действительного числа служит Вейерштрассу (как и другим ученым) основой для всего здания математического анализа.

Вейерштрасс исходит при этом из множества положительных рациональных чисел , которое он называет агрегатом. Агрегат обладает тем свойством, что сколько бы и какие бы элементы агрегата ни суммировались (речь всегда идет о конечном, хотя и сколь угодно большом числе элементов), их сумма не превышает заданных границ. Примером агрегата может служить любая десятичная дробь. Пусть заданы два агрегата и , идентифицируемые с числами и . Берем адекватные части единицы 1/n (п = 1, 2,3, 4,.... или n=1, 10, 100,... все равно!). Может осуществиться один из трех случаев: а) перебирая элементы агрегатов, мы найдем, что повторяется одинаково часто; б) и в) для некоторого величина чаще повторяется в первом (соответственно, втором) агрегате. Эти три случая соответственно означают . Объединение агрегатов дает сумму соответствующих чисел. Составление агрегата { }, элементами которого являются всевозможные произведения элементов вида { }, служит для определения умножения.

Все виды теории действительного числа опирались на рассмотрение множеств рациональных чисел. Этим самым трудности, связанные с обоснованием анализа, вновь сдвинулись. Они переместились в область логического анализа ряда натуральных чисел и вообще множеств с бесконечным числом элементов. В самом же анализе к концу XIX в. установился в основном современный стандарт логической строгости в определениях и доказательствах.

Аналитическое направление развития теории функций комплексного переменного. Другое направление развития теории функций комплексного переменного в XIX в., за которым закрепилось в истории название «аналитическое», сформировалось в работах К. Вейерштрасса. В сферу научных интересов последнего входили преимущественно проблемы математического анализа: его классических основ, теории функций комплексного переменного, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии. Для этой широкой области К. Вейерштрасс всю жизнь разрабатывал систему логического обоснования, опирающуюся на строгую теорию действительного числа как среды, в которой функционируют все основные понятия и методы. Именно в его лекциях был построен в основном современный стандарт строгости в математическом анализе и ставшая традиционной структура.

Те же цели строгого и систематического построения преследовал К. Вейерштрасс, создавая последовательно и настойчиво теорию функций. Уже в 1841 г. он сумел обобщить теорему Коши о разложении в степенной ряд функции комплексного переменного, непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном двумя концентрическими окружностями. Искомый ряд содержал члены с положительными и отрицательными степенями и был по существу рядом Лора­на. Последний, как было отмечено выше, отыскал этот ряд в 1843 г., и историческая традиция сохранила за этим рядом его имя. Результаты же К. Вейерштрасса, долго не попадавшие в печать, были известны меньше. Они распространялись преимущественно через посредство слушателей его лекций. Около 1842 г. К. Вейерштрасс овладел идеей аналитического продолжения.

Однако в эти годы главные интересы К. Вейерштрасса сосредоточивались на изучении конкретных классов функций: эллиптических, гиперэллиптических и абелевых функций и сопредельных с ними вопросов. Общие концепции в теории функции комплексного переменного начали вырабатываться в лекциях, которые К. Вейерштрасс в течение долгих лет читал в Берлинском университете. Помимо лекций об эллиптических функциях, их приложениях к геометрическим и механическим задачам об абелевых функциях и вариационном исчислении начинают появляться его курсы по теории аналитических функций. С 1856 г. К. Вейерштрасс читал лекции о представлении функций сходящимися рядами, а с 1861 г. — об общей теории функций. Наконец, появились специальные сочинения К. Вейерштрасса: «К теории однозначных аналитических функций» (1876) и «К учению о функциях» (1880), в которых его теория аналитических функций приобрела известную завершенность.

В основе теории К. Вейерштрасса лежит понятие степенного ряда. Для него определяется круг сходимости и вводится определение равномерной сходимости. Далее рассматриваются лишь равномерно сходящиеся ряды. Относительно них последовательно доказаны теоремы:

а) если ряд сходится равномерно в окрестности каждой точки, лежащей внутри «на границе данной области, то он сходится равномерна во всей области;

б) если дана последовательность степенных рядов

и две вещественные величины и , такие, что 0 <= R <= R' и R<=|x|<=R', то для этих значений х ряд

равномерно сходится и существует

Затем вводится понятие элемента функции

Для этого в области сходимости ряда К. Вейерштрасс выбирает точки . В ее окрестности как функции , так и , выражаются степенным рядом.

который и получил у Вейерштрасса название элемента функции .

Пусть затем точка лежит в окрестности и — соответствующий элемент функции . Для тех , которые лежат как в окрестности , так и в окрестности , имеет место

Где

Если — произвольная точка в области сходимости, то между и можно вставить последовательность точек: из окрестности , —из окрестности и т. д. вплоть до ,. попадающей уже в окрестность . Для соответствующих эле­ментов функции имеют место:

Таков же алгоритм образования по произвольному элементу в области сходимости всякого другого элемента в той же области. Может случиться, что область сходимости ряда будет выходить из первоначальной. Тогда из , применяя указанный алгоритм, можно образовать множество рядов, область сходимости которых выходит за пределы первоначальной. Так строится полная аналитическая функция , как совокупность всех продолжений какого-либо элемента. Затем проводятся исследования: особых точек на границах круга сходимости, однозначности и многозначности функций, поведения целой функции в бесконечности, разложения функции в произведение и других конкретных вопросов теории. Аппарат отличается единообразием; это — степенные ряды, операции с ними, оценки, зачастую весьма тонкие. Вслед за работами К. Вейерштрасса, в течение последней четверти XIX в., появилось большое количество работ по аналитической теории функций комплексного переменного. Среди них видное место занимают работы учеников Вейерштрасса — С. В. Ковалевской и Миттаг-Леффлера, а также Ш. Эрмита, Э. Пикара, Э. Лагерра, А. Пуанкаре и др. Лек­ции Вейерштрасса послужили на много лет прообразом учебников по теории функций комплексного переменного, которые начали появляться с тех пор довольно часто.

Леонард Эйлер родился в 1707 году швейцарском городе Базеле в семье пастора Пауля Эйлера. Первоначальное образование он получил у отца, образованного человека, который интересовался многими вопросами, в частности и математикой, ее он изучал под руководством известного математика и друга Якоба Бернулли (1654-1705). П.Эйлер преподавал математику своему сыну. Однако он хотел воспитать из него священника и никак не предполагал, что математика станет всепоглощающей страстью его сына; на свои уроки он смотрел как на умственное развлечение для обучаемого. Следуя своему плану, он отправил Леонарда в университет. Так тринадцатилетний Эйлер стал студентом младшего философского факультета Базельского университета. По настоянию отца он изучал богословие, латинских классиков, греческий и еврейский языки.

Его часто можно было видеть на лекциях по математике, которые читал другой представитель знаменитой математической династии Бернулли, брат Якоба, Иоганн Бернулли (1667-1748). Иоганн Бернулли предложил ему самостоятельно изучать математические творения самых знаменитых авторов, разрешив еженедельно по субботам приходить к себе домой для выяснения наиболее трудных вопросов. Занятия Эйлера шли так успешно, что через два года после поступления в университет ему присваивают по философии степень «первые лавры», соответствующую степени бакалавра, а в семнадцать лет за речь о сравнении философских воззрений Ньютона и Декарта он получает ученую степень магистра искусств. В 1726 году юноша окончил университет. В 1727 году по вызову братьев Бернулли Эйлер навсегда покидает Швейцарию, в Петербург.

До самой смерти Эйлер трудился так же интенсивно, как и прежде. Этому не помешала даже последовавшая на 67-м году жизни слепота второго глаза. Эйлер продолжал работать слепым, диктуя свои труды ученикам или детям.

Вечером 18 сентября 1783 года, после вполне благополучного рабочего дня, во время игры с внуком Эйлер вдруг почувствовал себя плохо и с возгласом «Я умираю»потерял сознание, а через несколько минут скончался.

Перу Эйлера принадлежит около девятисот работ.

Лобачевский Николай Иванович (1792-1856)

Лобачéвский Николай Иванович, род. 20.11(1.12).1792, Нижний Новгород - ум. 12(24).2.1856, Казань.

Русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист. Родился в семье бедного чиновника. Почти всю свою жизнь провёл в Казани. Там он учился в гимназии (1802-07), затем в Казанском университете (1807-11). По окончании университета был оставлен при нём; в 1811 утверждён магистром, в 1814 адъюнктом, в 1816 экстраординарным и в 1822 ординарным профессором, был также деканом физико-математического факультета (1820-22, 1823-25) и ректором университета (1827-46). В последний период своей жизни (1846-56) Лобачевский - помощник попечителя Казанского учебного округа.

В гимназии увлекательно преподавал математику талантливый учитель Г.И.Карташевский, воспитанник Московского университета. Он поставил изучение математики на значительную высоту. И когда юный 14-летний Лобачевский становится в феврале 1807 студентом университета (тоже казённокоштным), он уже вскоре проявляет особенную склонность к изучению физико-математических наук, обнаруживая выдающиеся способности. В этом, несомненно, сказались результаты педагогической деятельности Г.И.Карташевского.

Однако в университете Лобачевскому уже не удалось слушать лекции Карташевского, так как последний в декабре 1806 был отстранён от должности директором И.Ф.Яковкиным, как "проявивший дух неповиновения и несогласия". Математические курсы в университете стал вести М.Ф.Бартельс, прибывший в Казань в 1808.

Успехи студента Н.И.Лобачевского, соревнующегося в своих занятиях с И.П.Симоновым, впоследствии известным астрономом и участником кругосветного плавания, неизменно вызывали одобрение М.Ф.Бартельса и других профессоров.

3 августа 1811 Лобачевский утверждается магистром. Его руководитель профессор М.Ф.Бартельс был квалифицированным математиком и опытным преподавателем, но не вел творческой работы. Лобачевский изучил под его руководством классические труды по математики и механике: "Теорию чисел" (Disquisitiones Arithmeticae) Гаусса и первые томы "Небесной механики" Лапласа. Представив два научных исследования по механике и по алгебре ("Теория эллиптического движения небесных тел" (1812) и "О разрешимости алгебраического уравнения xn - 1 = 0" (1813 г.), он был ранее срока в 1814 произведён в адъюнкт-профессоры (доценты).

Со следующего года он ведет самостоятельное преподавание, постепенно расширяя круг читаемых им курсов и уже задумываясь над перестройкой начал математики. Еще через год он получает звание экстраординардого профессора.

Но вскоре в университете создается очень тяжелая обстановка для работы. В целях борьбы с революционными настроениями и "вольнодумством" правительство Александра I, проводя все более реакционную политику, ищет идеологической опоры в религии, в мистико-христианских учениях. Университеты в первую очередь подвергаются проверке.

Для обследования Казанского университета был назначен и прибыл в марте 1819 член Главного правления училищ М.Л.Магницкий, который использовал свое назначение в карьеристских целях. В своем отчете он приходит к выводу, что университет "причиняет общественный вред полуученностью образуемых им воспитанников...", а поэтому "подлежит уничтожению в виде публичного его разрушения" ради назидательного примера для других правительств.

Однако университет не был уничтожен. Александр I решил его исправить. Попечителем Казанского учебного округа был назначен Магницкий, который и приступил к энергичному "обновлению университета". Он начал свою деятельность увольнением девяти профессоров. Была установлена тщательная слежка за содержанием лекций и студенческих записок и введен суровый казарменный режим для студентов.

Семь лет этой церковно-полицейской системы принесли Лобачевскому тяжелые испытания, но не сломили его непокорный дух. Выдержать этот гнет ему помогла только его обширная и многообразная педагогическая, административная и исследовательская деятельность. Он преподает математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт (Тарту) Бартельса; замещает профессора К.Броннера, не вернувшегося после отпуска в Казань; читает физические курсы и заведует физическим кабинетом; замещает отправившегося в кругосветное плавание астронома И.П.Симонова; читает астрономию и геодезию, приняв в свое ведение обсерваторию. Ряд лет он работает деканом физико-математического отделения. Коллосальный труд вкладывает он в упорядочивание библиотеки и в расширение ее физико-математической части. Он является вместе с тем одним из активнейших членов, а затем и председателем строительного комитета, занятого постройкой главного университетского корпуса. Наконец, несмотря на тысячи текущих дел и обязанностей, Лобачевский не прекращает напряженной творческой деятельности.

Он пишет два учебника для гимназий: "Геометрию" (1823) и "Алгебру" (1825). "Геометрия" получает отрицательный отзыв у академика Н.И.Фусса, не оценившего тех изменений, который Лобачевский внес в традиционное изложение, и осудившего введение метрической системы мер, поскольку она создана в революционной Франции. "Алгебра" из-за внутренних проволочек в университете тоже не была напечатана.

Вскоре начинаются столкновения с попечителем. Лобачевский, по словам Магницкого, проявляет дерзость, нарушение инструкций. Магницкий решает установить особенный надзор за его поступками.

Однако и в этих унижающих достоинство человека условиях мысль Лобачевского работает неустанно над строгим построением начал геометрии. Первые следы этой работы мы находим в студенческих записках его лекций по геометрии за 1817. Об ней же свидетельствует рукопись учебника "Геометрия" и его "Обозрения преподавания чистой математики" за 1822 - 1823 и 1824 - 1825 гг. Наконец, его искания завершаются гениальным открытием. Разрывая оковы тысячелетних традиций, Лобачевский приходит к созданию новой геометрии. 23 (11) февраля 1826 он делает на факультете доклад о новой "Воображаемой геометрии". Этот доклад "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных" был передан на отзыв профессорам И.П.Симонову, А.Я.Купферу и адъюнкту Н.Д.Брашману. Лобачевский хотел знать мнение своих сотрудников об открытиии, величие которого он сознавал, и просил принять сво сочинение в предполагаемое издание "Ученых Записок" отделения.

Но отзыва не последовало. Рукопись доклада до нас не дошла. Материал этого доклада был включен Лобачевским в его первое сочинение "О началах геометрии", вышедшее в 1829 - 1830 годах в "Казанском вестнике".

Открытие Лобачевского было сделано им на путях принципиального критического пересмотра самых первых, начальных, геометрических понятий, принятых в геометрии еще со времен Евклида (3 век до н.э.). Это требование безусловной строгости и ясности в началах, это пристальное внимание к вопросам основ науки и углубленный анализ первоначальных понятий характерны вообще для творчества Лобачевского. Избранное им направление исследований способствовало тому, что он не только в геометрии, но и в ряде других областей математики превосходит достигнутый в то время уровень науки: так, им дано уточнение понятия функции, приписанное впоследствии Дирихле; он четко разграничивает непрерывность функции и ее дифференцируемость; им проведены глубокие исследования по тригонометрическим рядам, опередившие его эпоху на много десятилетий; им разработан метод численного решения уравнений, несправедливо получивший впоследствии название метода Греффе, тогда как Лобачевский и независимо от него бельгийский математик Данделен разработали этот метод значительно раньше.

Доклад Н.И.Лобачевского совпал по времени с падением Магницкого. Специальная ревизия выявила ряд злоупотреблений, и мракобес попечитель был смещен и выслан.
Новый попечитель Казанского учебного округа М.Н.Мусин-Пушкин сумел оценить кипучую деятельную натуру Н.И.Лобачевского. Великого геометра избирают вскоре, в 1827, ректором и 19 лет он самоотверженно трудится на этом посту, добиваясь расцвета Казанского университета.

Лобачевский стремился претворить в жизнь свою широкую передовую программу университетского образования, представление о которой дает его речь "О важнейших предметах воспитания", произнесенная им через год после назначения ректором.

Лобачевский добивается существенного повышения уровня научно-учебной работы на всех факультетах. Он проводит строительство целого комплекса университетских вспомогательных зданий: библиотеки, астрономической и магнитной обсерватории, анатомического театра, физического кабинета и химической лаборатории. Он пытается создать при университете "Общество наук", но не получает на это разрешения. Журнал смешанного содержания "Казанский вестник" он заменяет организованным им строгим научным журналом "Учеными записками Казанского университета", первая книжка которого выходит в 1834 и открывается предисловием Лобачевского, освещающим цели научного издания. В течение 8 лет он продолжает одновременно с ректорством управлять библиотекой. Он сам читает ряд специальных курсов для студентов. Он пишет наставление учителям математики и заботится о постановке преподавания также в училищах и гимназиях. Он принимает участие в поездке в Пензу в 1842 для наблюдения солнечного затмения. Умело оберегает он сотрудников и студентов университета во время эпидемии холеры в 1830, изолировав университетскую территорию и проводя тщательную дезинфекцию. Он организовал спасение астрономических инструментов и выноску книг из загоревшейся библиотеки во время громадного пожара Казани в 1842, причем ему удается отстоять от огня почти все университетские здания. Наконец, он организует чтение научно-популярных лекций для населения и открывает свободный доступ в библиотеку и музеи университета.

Лобачевский оказал влияние и на развитие астрономии. Он первым пытается использовать данные астрономических наблюдений (параллаксы звезд) для определения свойств пространства и времени и решения вопроса о том, какая из двух геометрий - классическая евклидова или созданная им - соответствует реальным условиям в физическом пространстве. Однако имевшиеся в его распоряжении величины параллаксов, опубликованные французским астрономом-любителем Дасса-Мондидье, были весьма завышенными и далекими от реальности. Лобачевский пришел к выводу, что в пределах пространства, ограниченного расстояниями до ближайших звезд, различие в обеих геометриях настолько мало, что выявить его методами того времени невозможно. Вопрос о геометрии физического пространства, впервые поставленный Лобачевским, был решен в теории относительности, созданной в XX в. А. Эйнштейном: геометрия Вселенной определяется распределением вещества в ней и не является евклидовой.

В Казанском университете Лобачевский, наряду с математическими дисциплинами, читает лекции по астрономии, расширяя и углубляя их содержание. Его лекции, например, были посвящены определению элементов орбит, их вековым изменениям, теории приливов и отливов, теории возмущенного движения комет и спутников планет. Он проводит в 1811-42 астрономические наблюдения, в частности наблюдает комету Энке в 1832. Дневники его наблюдений сгорели во время пожара обсерватории Казанского университета. Вместе со своим учеником М.В. Ляпуновым участвует в экспедиции в Пензу для наблюдения полного солнечного затмения 8 июля 1842. Подробно описывает свои наблюдения и размышления по поводу загадочных в то время явлений протуберанцев и солнечной короны. Занимается также усовершенствованием методов обработки астрономических наблюдений. Будучи ректором Казанского университета, способствует развитию астрономии в Казани. По его инициативе при университете в 1833-37 была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838, на год раньше Пулковской.

И вместе с тем он находит время для непрерывных и обширных научных исследований, посвященных, главным образом, развитию новой геометрии. Его идеи были настолько непривычны, губоки и новы, он настолько обогнал свою эпоху, что современники не смогли понять его и правильно оценить. Его первая работа "О началах геометрии" (1829 - 1830 гг.) была представлена Советом университета в 1832 в Академию наук. Но даже академик М.В.Остроградский не понял её значения и дал на неё отрицательный отзыв: "...Книга г-на ректора Лобачевского опорочена ошибкой..., она небрежно изложена и..., следовательно, она не заслуживает внимания Академии". А в 1834 в реакционном журнале Ф.Булгарина "Сын отечества" появился издевательский анонимный отзыв об этой работе. "Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего", - писал неизвестный рецензент, укрывшийся за двумя буквами С.С.

Встретив непонимание и даже издевательство, Лобачевский не прекратил своих исследований. После работы 1829-1830 "О начала геометрии" Лобачевский печатает в "Ученых записках":
- в 1835 "Воображаемую геометрию",
- в 1836. "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам".

С 1835 по 1838 он публикует свою наиболее обширную работу "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных". Наконец, в 1840 выходят на немецком языке "Геометрические исследования по теории параллельных", где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей.

Эта мужественная борьба за научную истину резко отличает Лобачевского от других современников, приближавшихся тоже к открытию неевклидовой геометрии.
Замечательный венгерский математик Янош Больяи опубликовал на 3 года позже Лобачевского свое исследование "Аппендикс" - добавление к книге его отца. В этой работе он несколько с иной стороны подошёл к тем же результатам, что и Лобачевский. Но не встретив одобрения и поддержки, он прекратил борьбу. Выдающийся немецкий математик Гаусс, как выяснилось из опубликованных посмертно его переписки, получил некоторые начальные соотношения новой геометрии, но, оберегая свой покой, а также, быть может, не будучи уверен в правильности и объективной значимости этих результатов, запретил своим корреспондентам какие-либо высказывания об его взглядах. Восхищаясь в частной переписке с друзьями геометрическими работами Лобачевского он ни одним словом не высказался о них публично.

Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П.И.Котельникова, который в актовой речи в 1842 отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдёт своих ценителей.

Многолетние плодотворные труды Лобачевского не могли получить положительной оценки у правительства Николая I. В 1846 Лобачевский оказался фактически отстранённым от работы в университете. Внешне он получил повышение - был назначен помощником попечителя (однако жалованья ему за эту работу не назначили), но при этом он лишился кафедры и ректорства.

Следует отметить, что менее чем за год до этого он был утверждён в шестой раз ректором университета на очередное четырехлетие. Вместе с тем более года он управлял Казанским учебным округом, заменив М.Н.Мусина-Пушкина, переведённого в Петербург. Указывая на эти свои служебные обязанности, Лобачевский незадолго до неожиданного предписания Министерства рекомендовал вместо себя на кафедру математики учителя Казанской гимназии А.Ф.Попова, защитившего докторскую диссертацию. Он считал необходимым поощрить молодого способного учёного и находил несправедливым занимать при таких обстоятельствах кафедру. Но, лишившись кафедры и ректорства и оказавшись в должности помощника попечителя, Лобачевский потерял возможность не только руководить университетом, но и вообще действенно участвовать в жизни университета.

Насильственное отстранение от деятельности, которой он посвятил свою жизнь, ухудшение материального положения, а затем и семейное несчастье (в 1852 у него умер старший сын) разрушающе отразилось на его здоровье; он сильно одряхлел и стал слепнуть. Но и лишенный зрения, Лобачевский не переставал приходить на экзамены, на торжественные собрания, присутствовал на ученых диспутах и не прекращал научных трудов.

Непонимание значения его новой геометрии, жестокая неблагодарность современников, материальные невзгоды, семейное несчастье и, наконец, слепота не сломили его мужественного духа. За год до смерти он закончил свой последний труд "Пангеометрия", диктуя его своим ученикам.

24 (12) февраля 1856 кончилась жизнь великого учёного, целиком отданная русской науке и Казанскому университету.

Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в.

11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа.

Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.

В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм.

Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика, таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза»

В теоретическом плане априоризм представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических требованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как они также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве.

Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.

К 1800 математика покоилась на двух “китах” – на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И.Лобачевскому (1792–1856) и Я.Бойяи (1802–1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б.Римана (1826–1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.

О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А.Эйнштейном (1879–1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.

Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894) родился 26 мая 1821 года в сельце Окатове, Боровского уезда, Калужской губернии. Первоначальное образование и воспитание он получил дома; грамоте его обучала мать Аграфена Ивановна, а арифметике и французскому языку — двоюродная сестра Сухарева, девушка весьма образованная и, по-видимому, сыгравшая значительную роль в воспитании будущего математика.

В 1832 г. семейство Чебышевых переехало в Москву для подготовки Пафнутия Львовича и его старшего брата к поступлению в университет. Шестнадцатилетним юношей он стал студентом Московского университета и уже через год за математическое сочинение на тему, предложенную факультетом, был награждён серебряной медалью. С 1840 г. материальное положение семьи Чебышевых пошатнулось, и Пафнутий Львович был вынужден жить на собственный заработок. Это обстоятельство наложило отпечаток на его характер, сделав его расчётливым и бережливым; впоследствии, когда он уже не испытывал недостатка в средствах, он не соблюдал экономии в их расходовании только при изготовлении моделей различных приборов и механизмов, идеи которых часто рождались в его голове.

Двадцатилетним юношей П. Л. Чебышев окончил университет, а через два года опубликовал свою первую научную работу, за которой вскоре последовал ряд других, всё более и более значительных и быстро привлекших к себе внимание научного мира. Двадцати пяти лет П. Л. Чебышев защитил в Московском университете диссертацию на степень магистра, посвящённую теории вероятностей, а ещё через год был приглашён на кафедру Петербургского университета и переселился в Петербург. Здесь началась его профессорская деятельность, которой П. Л. Чебышев отдал много сил и которая продолжалась до достижения им преклонного возраста, когда он оставил лекции и отдался целиком научной работе, продолжавшейся буквально до последнего мгновения его жизни. В двадцать восемь лет он получил в Петербургском университете степень доктора, причём диссертацией служила его книга “Теория сравнений”, которой затем в течение более полу столетия студенты пользовались как одним из самых глубоких и серьёзных руководств по теории чисел. Академия наук избрала тридцатидвухлетнего П. Л. Чебышева адъюнктом по кафедре прикладной математики; через шесть лет он уже стал ординарным академиком. Год спустя он был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г. та же академия избрала его своим иностранным сочленом.

8 декабря 1894 года утром Пафнутий Львович Чебышев умер, сидя за письменным столом. Накануне был его приёмный день и он сообщал ученикам планы своих работ и наводил их на мысли о темах для самостоятельного творчества.

Исследования великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева (1821—1894) проводились преимущественно в трех направлениях: теория чисел, теория вероятностей и теория механизмов. С исследованиями по теории механизмов неразрывно связаны многочисленные изобретения Чебышева. И. И. Артоболевский и Н. И. Левитский в работе, посвященной изобретениям и исследованиям Чебышева по теории механизмов и машин, выделяют 41 “основной механизм Чебышева” и около 40 модификаций этих механизмов, “которые могут в некоторых случаях также рассматриваться как самостоятельные механизмы”.

Интерес Чебышева к решению технических задач связан с рядом обстоятельств. Значительное влияние на формирование Чебышева как ученого оказал Н. Д. Брашман (1796—1866), профессор Московского университета, где в 1837—1841 гг. обучался Чебышев. Брашман одним из первых в университете был сторонником широкого развития прикладных исследований. Он вел курс механики, по его инициативе в университете предлагались для диссертаций темы прикладной механики, а в 1846 г. была создана кафедра “Практическая механика”.

Объективным фактором, способствующим усилению внимания к прикладным исследованиям, являлась растущая необходимость применения механики к решению конкретных технических задач, что было связано с быстрым развитием машинной техники в середине и второй половине XIX века.

В своей первой зарубежной поездке (1852 г.) во Францию и Великобританию Чебышев с большим интересом изучает работу различных механизмов и машин. Наряду с паровыми машинами и гидравлическими колесами “внимание мое,— пишет Чебышев в отчете о командировке — привлекли машины занимательного механика Вокансона, арифметическая машина Паскаля, различные приводы для поднятия воды, машины бумагопрядильные и льнопрядильные, машины металлургические”.

Как отмечает В. Г. фон Бооль. непосредственный интерес Чебышева к проблемам вычислительной техники был стимулирован сообщением академика В. Я. Буняковского об изобретении им самосчетов. “Усмотрев своим практическим умом все недостатки самосчетов, Пафнутий Львович тотчас же возымел мысль построить свой прибор для сложения и вычитания”.

В 1876 г. Чебышев выступил с докладом на V сессии Французской ассоциации содействия преуспеванию наук. Доклад назывался “Суммирующая машина с непрерывным движением”. Содержание этого доклада неизвестно. Однако можно предположить, что речь шла об одной из первых моделей суммирующей машины. По-видимому, именно об этой модели Артоболевский и Левитский писали в 1958 г.: “сохранился один из ранних экземпляров арифмометра, обнаруженный нами среди других архивных материалов”. Одному из авторов настоящей работы (Л. Е. Майстрову) удалось найти эту модель. Она была создана Чебышевым не позднее 1876 г. и хранится сейчас в музее истории Ленинграда.

Первый арифмометр Чебышева, строго говоря, не может быть отнесен к классу арифмометров (приборов для выполнения четырех арифметических действий). Это 10-разрядная суммирующая машина с непрерывной передачей десятков. В машине с прорывной (дискретной) передачей колесо высшего разряда продвигается сразу на одно деление, в то время как колесо низшего разряда переходит с 9 на 0. При непрерывной передаче десятков соседнее колесо (а вместе с ним и все остальные) постепенно поворачивается на одно деление, пока колесо младшего разряда совершает один оборот. Чебышев достигает этого применением планетарной передачи.

Работа оператора при выполнении сложения на машине Чебышева была очень простой. С помощью десяти наборных колес (по одному для каждого разряда числа) поочередно вводились слагаемые, а результат считывался в окнах считки. На наборных колесах имеются специальные зубцы, с помощью которых поворачиваются колеса. В корпусе машины — прорези, в которых видны эти зубцы, а рядом с прорезями написаны цифры (О...9). При вычитании набирается уменьшаемое, а вычитаемое нужно набирать, вращая наборные колеса в обратную сторону. В целом машина приспособлена для сложения, и вычитание на ней неудобно.

Следующими этапами работы Чебышева явились постройка новой модели суммирующей машины и передача ее в 1878 г. в Парижский музей искусств и ремесел, а затем создание множительно-делительной приставки к суммирующей машине. Эта приставка также была передана в музей в Париже (1881 г.). Таким образом, арифмометр, хранящийся в этом музее, состоит из двух устройств: суммирующего и множительно-делительного.

Суммирующее устройство отличается от хранящейся в Ленинграде суммирующей машины несколькими несущественными усовершенствованиями, а также большим удобством в работе. Впрочем, последнее обстоятельство не являлось главной задачей Чебышева, стремившегося показать возможность реализации новой идеи — непрерывной передачи десятков.

Ряд, новых идей был воплощен и во множительно-делительном устройстве. Главная и наиболее плодотворная из них состояла в из тематическом переводе каретки из разряда в разряд. Кареткой, т. е. подвижной частью арифмометра, служила сама приставка. Для выполнения умножения и деления она устанавливалась на суммирующей машине, образуя с ней единый прибор. При выполнении умножения было нужно только вращать рукоятку арифмометра. Число оборотов рукоятки было равно сумме знаков множителя плюс количество разрядов множителя, уменьшенное на единицу.

После умножения множимого на цифру одного разряда множителя арифмометр автоматически прекращает умножение и переводит каретку в следующий разряд. Затем счетный механизм снова включается, и начинается умножение на цифру второго разряда множителя. Количество оборотов рукоятки автоматически контролируется специальным счетчиком, который действует от установленного числа множителя. Этот же счетчик переключает процесс вычислений на передвижение каретки и обратно.

Поскольку передача арифмометра в Парижский музей искусств и ремесел не сопровождалась публикацией, об изобретении Чебьшева было известно ограниченному кругу людей. В 1882 г. Чебышев делает доклад “О новой счетной машине” на XI сессии Французской ассоциации содействия преуспеванию наук. Доклад не сохранился, но его содержание, по-видимому, изложено в заметке “Счетная машина с непрерывным движением”, опубликованной в “Revue scientifique” 1882, № 3. Эта первая, краткая публикация об арифмометре Чебышева осталась почти незамеченной. В 1890 г. французский ученый Эдуард Люка, один из изобретателей множительных палочек, установил модели различных механизмов, изобретенных Чебышевым, в том числе и арифмометра, в специальной витрине Парижского музея искусств и ремесел и прочитал о них несколько публичных лекций.

После смерти Люка (1891 г.) коллекцией счетных машин этого музея занимался историк М. д'0кань. В 1893 г. он публикует краткую заметку об арифмометре Чебышева в “Annales de conservatoire des Arts et Metiers” (т. 5, с. 2) и обращается к Чебышеву с просьбой прислать в музей полное описание арифмометра. Что ответил Чебышев, установить не удалось, но в мае 1894 г. он был в Париже, встречался с Люка и дал необходимые пояснения по конструкции и работе арифмометра. В том же году Люка публикует книгу “Упрощенный счет”, где дает описание машины Чебышева.

В том же. 1894 г. в России было опубликовало обстоятельное описание арифмометра Чебышева, сделанное В. Г. фон Боолем, содержание которого вошло в его монографию. Чебышев писал Боолю: “Вашим сообщением разъясняется многое, что темно у Оканя, он сам воспользуется этим при предстоящих конференциях в консерватории” (т. е. в Парижском музее искусств и ремесел).

При оценке арифмометра Чебышева и его места в истории вычислительной техники необходимо четко различать два обстоятельства: новизну и плодотворность идей, заключенных в его конструкции, и конкретное воплощение этих идей в изготовленных Чебышевым моделях (ленинградской и парижской). Между тем в существующих оценках арифмометра Чебышева эти две стороны не разделяются и общепринятая оценка сводится к следующему: Чебышеву удалось преодолеть недостатки существовавших в его время арифмометров и создать удобную для практического использования машину. В основе этого мнения, по-видимому, лежит авторитетное заключение Бооля, который высоко оценил арифмометр Чебышева, но, как ясно из контекста, его теоретическую основу, а не практическую реализацию. “Существование только одного экземпляра арифмометра Чебышева, недоступного для публики,— писал Бооль,— не дает возможности испытать машину на практике...”.

Как мы видели, до появления арифмометра Чебышева наибольшее распространение имел арифмометр Томаса, который совершенствовался от выпуска к выпуску и был в употреблении во многих странах, в том числе и в России. Арифмометр Томаса был сравнительно быстродействующей машиной, а практика его изготовления оказала немалое влияние на последующее производство вычислительных машин. Из суммирующих машин этого времени следует выделить счислитель Куммера и вычислительный прибор Слонимского. Получили известность разностная машина Шейцев, а также идеи Бэбиджа относительно конструкции разностной и аналитической машин. До работы Чебышева над арифмометром было высказано немало идей о конструкции счетных приборов. Естественно, это было известно Чебышеву.

К 70-м годам прошлого века были выработаны требования к возможностям арифмометров. С учетом этих требований арифмометр Чебышева следует признать малоудачной для практического использования машиной. Неудобства состояли в трудностях считывания результатов и выполнении операций вычитания, необходимости приложения значительных усилий при наборе чисел и т. д. Суммирующую машину Чебышева, так ж