Математическое творчество М. В. Остроградского

Тридцать три года, более чем половину жизни - с момента возвращения из Парижа и до последних своих дней - был связан Остроградский с Петербургской Академией наук сначала в качестве адъюнкта, затем экстраординарного и, наконец, ординарного академика. Ни одно серьезное мероприятие, касающееся математики - присуждение премий, избрание новых членов, отзывы на поступающие работы - не проходило в стенах Академии мимо Остроградского. Подавляющую часть своих научных работ Остроградский напечатал в трудах Академии.

Работы М. В. Остроградского в области механики. Около двадцати работ в области механики было опубликовано Остроградским; среди них - два больших курса: "Курс небесной механики" и "Лекции по аналитической механике", оригинально построенные и представляющие значительный научный интерес. Все работы Остроградского можно разбить на три группы: работы, связанные с началом возможных перемещений, с дифференциальными уравнениями механики и с решением частных задач механики.

В то время, когда началась и развернулась в полную силу научная деятельность Остроградского, еще всю свежесть новизны имела известная "Аналитическая механика" Лагранжа. Остроградский, вообще склонный к наиболее общим решениям, не мог пройти мимо тех общих методов, которые были положены в основу аналитической механики одним из ее творцов. В своих лекциях и в ряде мемуаров Остроградский существенно дополнил и развил эти методы.

Впервые, свои идеи Остроградский изложил в лекциях по небесной механике, прочитанных в 1831 г. и изданных тогда же под названием "Курс небесной механики".

В своих мемуарах "Общие рассмотрения о моментах сил" Остроградский в 1834 г. развил мысль о распространении метода возможных перемещений на системы с освобождающимися связями при условии, что полная работа сил равна или меньше нуля.

Мысли о выводе уравнений динамики систем со связями, зависящими от времени, Остроградский кратко изложил в 1841 г. в заметке "О принципе возможных скоростей и силе инерции". Эта заметка была возражением на изложение начала Даламбера в курсе механики Пуассона. Она кончается возражением против мнения о фиктивности сил инерции, которым Остроградский придавал реальное значение. Свой взгляд на эти силы, а также на применение метода возможных перемещений для вывода уравнений динамики Остроградский подробно развил в 1838 г. в работе "Мемуары о возможных перемещениях систем, связанных переменными условиями".

Наконец, к распространению метода возможных перемещений Лагранжа относится один из позднейших мемуаров Остроградского (1854 г.) "Мемуары об общей теории удара". В этой работе впервые дается общий метод нахождения скоростей точек какой угодно системы при ударе о неупругую связь.

Работы М. В. Остроградского в области математической физики.

Первая работа Остроградского "О распространении волн в цилиндрическом бассейне", законченная им в 1826 г. и напечатанная только в 1832 г., была посвящена вопросу, который живо интересовал в ту пору французских математиков: проблема о распространении волн на поверхности жидкости. Несколько позднее, 17 сентября 1829 г., Остроградский сделал сообщение в Петербурге о продолжении своих исследований и доложил решение задачи распространения волн в бассейне, имеющем форму кругового сектора.

Первая работа, представленная Остроградским Петербургской Академии наук, носила название "Заметка об интеграле, встречающемся в теории притяжения". В этой работе он предложил новый вывод уравнения Пуассона.

В 1828 г. Остроградский представил Академии наук работу, посвященную другому вопросу математической физики - теории теплоты. В этой статье впервые были поставлены весьма важные вопросы математического анализа, сделавшиеся впоследствии центральными объектами изучения многих выдающихся математиков. Здесь, в частности, впервые была доказана знаменитая формула, получившая наименование формулы Остроградского-Гаусса, связывающая интеграл по объему с интегралом по поверхности. Через восемь месяцев после первой работы по теории теплоты Остроградский представил Академии наук вторую работу под тем же названием.

В 1829 г. Остроградский представил Академии наук работу "Об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных, относительно малых колебаний упругих сред", в которой распространил результаты Коши на уравнения теории упругости.

Помимо перечисленных работ Остроградский выполнил еще несколько исследований, относящихся к математической физике, весьма разнообразных по своему содержанию. Кроме того, Остроградским были доложены на заседаниях Академии наук работы (впоследствии не опубликованные): "О влиянии солнечной температуры на температуру земного шара", "О вековых неравенствах в движении планет", "О равновесии и движении твердых тел", "О выводе, данном Фурье, дифференциального уравнения распространения тепла в жидкости".

Таким образом, Остроградский внес значительный вклад в развитие математической физики, которая создавалась на его глазах и при его активном участии.

Работы М. В. Остроградского в области математического анализа. В статье "Заметка по теории теплоты", напечатанной в 1828 г. была выведена формула, вошедшая теперь во все учебники математического анализа и математической физики под названием формулы Остроградского-Гаусса. Формула, связывающая интеграл, взятый по объему, с двойным интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем, была применена Остроградским к решению некоторых вопросов распространения тепла в твердом теле. Эта формула была обобщена Остроградским на случай n-кратного интеграла в работе 1834 г. "Мемуары об исчислении вариации кратных интегралов". В двух позднейших исследованиях - "Об одном замечании относительно определенных интегралов, относящихся к теории ортогональных поверхностей", 1840 г. и "Об одном определенном интеграле",1860 г. он изучил интересные частные случаи.

К теории интегрирования алгебраических функций относятся пять статей Остроградского (три из них от 1833 г.): "Мемуары об интегрировании рациональных дробей", "Продолжение мемуаров об интегрировании рациональных дробей" и "Заметка о соотношении, которое может быть между интегралами алгебраических функций" и две более поздние - "Об интегрировании алгебраических функций" 1842 г. и "Мемуары об интегрировании рациональных функций" 1844 г.

Работы Остроградского по математическому анализу имеют не только и не столько историческое значение: они вошли в современную математику в качестве неотъемлемой составной ее части и представляют собой то необходимое орудие, без которого математика уже не может участвовать в деле изучения явлений природы.

Работы М. В. Остроградского в области алгебры, теории чисел и теории вероятностей.

Алгебра, теория чисел и теория вероятностей не были в центре научных интересов Остроградского. Получив в механике, математической физике и математическом анализе результаты принципиального значения, он ограничился здесь решением частных задач.

К теории чисел относится лишь одна работа Остроградского - вычисленные им в 1836 г. таблицы первообразных корней всех простых чисел, меньших 200.

Обширный курс Остроградского "Лекции алгебраического и трансцендентного анализа", изданный в 1837 г., сыграл весьма существенную роль в развитии алгебраических знаний и алгебраических интересов в среде русских математиков. Кроме того, Остроградский посвятил алгебре две статьи "О равных корнях целых многочленов" в 1849 г. и "О равных функциях алгебраических многочленов" в 1856 г. Они относятся к задаче разыскания кратных корней.

По теории вероятностей Остроградский написал шесть статей: "О вычислении вероятностей ошибок судебных трибуналов" (1834 г.), "Мемуары о производящих функциях" (1836 г.), "Об одном вопросе теории вероятностей" (1846 г.), "О страховании" (1847 г.), "Игра в кости", "О вероятности гипотез после исхода испытаний" (1859 г.).

Остроградским было разрешено много разнообразных проблем, он очень широко смотрел на математику. В круг его интересов входили и основные вопросы механики, и теория чисел, и баллистика, и алгебра, и небесная механика, и математический анализ, и математическая физика. По словам Н. Е. Жуковского "В творениях М. В. Остроградского нас привлекает общность анализа, основная мысль, столь же широкая, как широк простор его родных полей".