Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в среде MathCad

Mathcad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения систем дифференциальных уравнений. В состав ее входят функции Mathcad, предназначенные для решения задачи Коши и граничных задач для нормальныхсистем обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи для уравнений высших порядков сводятся к соответствующим задачам для нормальных систем.

Рассмотрим задачу Коши:

(3.10)

Система (3.10) называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений x_i,1, x_i,2,..., x_i,N решения x₁ (t), x₂ (t),..., x_N (t) на отрезке [t ₀, t_N ] в точках t₁, t₂,..., t_N, которые называются узлами сетки. Обозначив

,

,

,

где – искомое решение, – вектор начальных условий, а – вектор правых частей, запишем систему дифференциальных уравнений в векторной форме:

, .

В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью следующих функций:

· rkfixed(x₀, t₀, t_n, n, F) – решение задачи на отрезке методом Рунге – Кутта с постоянным шагом;

· Rkadapt(x₀, t₀, t_n, n, F) – решение задачи на отрезке методом Рунге – Кутта с автоматическим выбором шага;

· Bulstoer(x₀, t₀, t_n, n, F) – решение задачи на отрезке методом Булирша-Штера;

Смысл параметров для всех функций одинаков и определяется математической постановкой задачи:

x₀ – вектор начальных условий ;

t₀, t_n – начальная и конечная точки отрезка интегрирования системы (левая и правая границы интервала времени);

n — число точек в интервале [t₀, t_n];

F — имя вектора-функции правых частей.

Если известно, что искомое решение достаточно гладкое, можно использовать функцию Rkadapt, которая ищет решение с переменным шагом, то есть там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения функции шаг уменьшается, что ускоряет поиск решения. Возвращается же решение с равным шагом.

Когда известно, что решение является гладкой функцией, более точное решение даёт функция Bulstoer, которая использует метод Булирша-Штера, и имеет те же аргументы, что и rkfixed.

3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду

Пусть система n-го порядка описывается уравнением:

. (3.11)

Чтобы уравнение (3.11) имело единственное решение необходимо задание начальных условий.

x(t₀)=x₀,

, (3.12)

.

Введя новые неизвестные функции, можно привести уравнение (3.11) к системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Такую систему называют нормальной системой дифференциальных уравнений:

Пусть

x(t)=x₁(t),

тогда

_,

… (3.13)

_,

_.

Совокупность уравнений (3.13) можно записать следующим образом:

.(3.14)

Уравнение (3.14) в матричном виде:

. (3.15)

Решение нормальных систем дифференциальных уравнений возможно любым из изложенных выше методов.