Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида у = к х + b. Выясним смысл параметров к и b.

Углом наклона прямой называется любой направленный угол, на который надо повернуть ось Ох, чтобы получить одно из направлений прямой. Очевидно, все углы наклона прямой отличаются друг от друга на величину , поэтому их тангенсы равны.

Рассмотрим две несовпадающие точки (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂), принадлежащие прямой. Вычитая равенство у ₁ = к х ₁ + b из равенства у ₂ = к х ₂ + b, получим у ₂ – у ₁ = к (х ₂ – х ₁), откуда . Но из рисунка следует, что . Таким образом, параметр к, который называют угловым коэффициентом прямой, равен тангенсу угла наклона прямой: . Положив х = 0 в уравнении у = к х + b х, получим у = b. Таким образом, параметр b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу.

Так , уравнение с угловым коэффициентом невозможно записать для прямых с , т.е. для прямых, параллельных оси Оу. Такие прямые имеют уравнение х = х ₀, где х ₀ – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

2.1.4.3. Общее уравнение прямой. Вернемся к векторному уравнению прямой . Запишем скалярное произведение в координатной форме: N = (A, B), , следовательно, А (х – х ₀) + В (у – у ₀) = 0. Преобразуем это уравнение:

Ах + Ву + (– Ах ₀ – Ву ₀) = 0. Обозначим С = – Ах ₀ – Ву ₀, тогда A x + B y + C = 0, это уравнение называется общим уравнением прямой. Итак, общим уравнением прямой называется уравнение вида

A x + B y + C = 0.

Уравнение с угловым коэффициентом у = к х + b является частным случаем общего уравнения (к х - у - b = 0, А = к, В = -1, С = - b). Уравнение х = х ₀ прямой, параллельной оси Оу, которую нельзя описать уравнением с угловым коэффициентом, также является частным случаем общего уравнения (х – х ₀ = 0, А = 1, В = 0, С = - х ₀). Справедливо и обратное утверждение: каждое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 может быть приведено либо к уравнению с угловым коэффициентом (если , то, решив уравнение относительно у, получим , ), либо к виду х = х ₀ (если В = 0, то , и .)

2.1.4.4. Уравнение прямой в отрезках. Так называется уравнение вида . Положив в этом уравнении х = 0, получим y = b; при у = 0 получаем х = а. Таким образом, параметры а и b равны, соответственно, абсциссе и ординате концов отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. В отрезках может быть записана любая прямая, не проходящая через начало координат. Общее уравнение A x + B y + C = 0 приводится к уравнению в отрезках при делением на – С: , т.е. .

Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость П задана уравнением

A x + B y + C + D = 0, M ₀(x ₀, y _0, z ₀) – произвольная точка пространства. Для любой точки М ₁(x ₁, y ₁, z ₁), лежащей на плоскости, расстояние d от точки M ₀до плоскости П равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор N (A, B, С). Пусть точка М ₁ имеет координаты (x ₁, y _1, z ₁), тогда , и

, так как из принадлежности точки М ₁ плоскости П следует, что Ax ₁ + By ₁ + Cz ₁ +

D = 0, т.е. (- Ax ₁ - By ₁ - Cz ₁) = D.