Центральная симметрия и ее свойства

Определение. Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка на плоскости. Точка Х ₁ называется симметричной точке Х относительно точки О, если точки Х, О, Х ¢ лежат на одной прямой и ОХ = ОХ ¢. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О.

Определение. Преобразование плоскости Р, при котором каждая точка А Î Р преобразуется в точку А ¢, симметричную относительно данной точки О, называется центральной симметрией с центром О.

Обозначается Z_о(А) = А ¢.

Чтобы осуществить центральную симметрию плоскости Р, достаточно задать на ней центр симметрии точку О.

Центр симметрии О также будет известен, если известна пара соответствующих точек А и А ¢. Следовательно, центральную симметрию можно задать парой соответствующих точек.

Если на плоскости выбрана система координат, и точка О – начало координат, принята за центр симметрии, то точка А ¢(х ¢; у ¢), симметричная точке А (х; у) будет иметь координаты:

Свойства центральной симметрии:

1) Если точка А ¢ симметрична точке А относительно точки О, то точка А симметрична точке А ¢ относительно точки О. В самом деле, оба утверждения означают, что точка О – середина отрезка АА ¢. Т.о. после двукратного выполнения центральной симметрии относительно точки О все точки плоскости возвращаются на исходные места, т.е. композиция центральной симметрии с самой собой является тождественным преобразованием.

2) Любая прямая при центральной симметрии преобразуется в прямую, причем: прямая, проходящая через центр, преобразуется в себя; прямая, не проходящая через центр, преобразуется в параллельную ей прямую (доказать самостоятельно).

3) Центральная симметрия сохраняет расстояние между парами соответствующих точек, т.е. является движением. Пусть Z_о(А) = А ¢, Z_о(В) = В ¢, тогда из равенства треугольников АОВ и А ¢ ОВ ¢ следует равенство сторон АВ и А ¢ В ¢.

Заметим, что центральная симметрия есть композиция двух осевых симметрий с взаимно перпендикулярными осями симметрии.

Определение. Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О – центром симметрии.

Примеры центрально-симметричных фигур: параллелограмм относительно точки пересечения диагоналей; прямая относительно любой своей точки; отрезок относительно своей середины и др.