Понятие геометрического преобразования. Тождественное преобразование. Композиция преобразований

Определение. Назовем геометрическим преобразованием любое взаимно-однозначное отображение Р точек плоскости на себя.

Т.к. множество Р бесконечно, то геометрическое преобразование нельзя задавать таблицами. Часто их задают формулами, выражая координаты х ¢ и у ¢ точки f (М) через координаты х и у точки М.

Функции, задающие преобразования плоскости, нельзя выбирать произвольно. Они должны удовлетворять условию, что отображение является взаимно-однозначным: оно должно быть определено для всех пар (х; у) и для каждой пары чисел (а ¢; b ¢) должна найтись единственная пара чисел (а; b), такая, что φ(а; b) = а ¢, ψ(а; b) = b ¢.

При геометрическом преобразовании φ каждая геометрическая фигура F переходит в геометрическую фигуру F ¢, называемую ее образом при этом геометрическом преобразовании. Фигура F ¢ состоит из точек вида φ(А), где А – точка фигуры F.

Определение. Если при преобразовании φ каждая точка плоскости остается неподвижной, т.е. совпадает со своим образом, то такое преобразование называется тождественным.

φ = Е Û (" а Î Р) φ(А) = А.

Определение. Пусть f, g – различные преобразования плоскости Р, такие, что f (А) = А ₁,
g (А ₁) = А ₂. Преобразование k: А ® А ₂ называется композицией преобразований f и g.

Обозначают k = g f (читают справа налево) или k (А) = g (f (А)) = g (А ₁) = А ₂. Т.о. композиция двух преобразований состоит в последовательном их выполнении.

А 1

Композиция преобразований в общем случае не обладает свойством коммутативности, т.е. результат композиции преобразований существенно зависит от порядка сомножителей. Однако композиция преобразований всегда ассоциативна, т.е. (s k) f = s (k f).

Пусть f (А) = А ₁, k (А ₁) = А ₂, s (А ₂) = А _3. Тогда ((s k) f)(А) = (s k)(А ₁) = s (А ₂) = А ₃.

(s (k f)(А) = s ((k f)(А)) = s (k (f (А))) = s (k (А ₁) = s (А ₂) = А ₃. Т.о. любая точка А плоскости отображается на точку А ₃ той же плоскости каждым из преобразований (s k) f и s (k f).
Для тождественного преобразования имеет место соотношение е f = f е =f? Т.е. тождественное преобразование является нейтральным элементом в множестве геометрических преобразований.

Определение. Если на множестве Р задано преобразование f, такое что (" а Î Р) f (А) = А ¢, то преобразование, переводящее образ А ¢ в прообраз А, называется обратным преобразованием и обозначается f ^–1. Имеет место соотношение f ^–1 f = f f ^–1 = е.