Понятие движения. Свойства движений

Определение. Назовем геометрическое преобразование f перемещением плоскости или движением, если оно сохраняет расстояние между точками плоскости, т.е. АВ = А ¢ В ¢, где А ¢ = f (А), В ¢ = f (В).

Большинство геометрических фигур и их свойства определяются с помощью понятия расстояния между точками. Например, окружность – множество точек, удаленных на одинаковое расстояние от данной точки О. Т.к. перемещения плоскости сохраняют расстояние между точками, то они переводят окружности в окружности тем же радиусом, отрезки – в отрезки той же длины и т.д. Поэтому, чтобы найти образ окружности с центром О и радиусом R при заданном перемещении, достаточно найти образ О ₁ ее центра и построить окружность с центром О ₁ и радиусом R. Чтобы построить образ отрезка АВ, достаточно найти образы А ¢ и В ¢ его концов и построить отрезок А ¢ В ¢.

Свойства движений

В самом деле, по определению движения АВ = А ¢ В ¢, ВС = В ¢ С ¢ Þ АВ + ВС = А ¢ В ¢ + В ¢ С ¢ Т.к. точка В лежит между точками А и С, то АВ + ВС = АС, но АС = А ¢ С ¢ Þ А ¢ В ¢ + В ¢ С ¢ = А ¢ С ¢, а это значит, что точка В ¢ лежит между точками А ¢ и С ¢.

С ·

1) При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это означает, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки А ¢, В ¢, С ¢, то эти точки также лежат на прямой; если точка В лежит между точками А и С, то точка В ¢ лежит между точками А ¢ и С ¢.

Следствия:

· при движении прямые переходят в прямые, отрезки – в отрезки той же длины, луч – в луч:

· при движении сохраняются углы между прямыми;

· при движении сохраняется параллельность прямых;

· окружность отображается на окружность того же радиуса.

Примерами движений являются симметрии относительно прямой и относительно точки, параллельный перенос, поворот.