Осевая симметрия и ее свойства

l

О

А ¢

А

Определение. Пусть l – фиксированная прямая. Точка А ¢ называется симметричной точке А относительно прямой l, если прямая АА ¢ ^ l и АО = ОА ¢, где О – точка пересечения прямых АА ¢ и l. (Если точка А лежит на прямой l, то симметричная ей точка есть сама точка А.)

Определение. Назовем осевой симметрией относительно прямой l геометрическое преобразование S_l, при котором каждая точка плоскости Р переходит в симметричную ей относительно прямой l точку.

Прямую l называют осью симметрии. Очевидно, что все точки оси симметрии остаются неподвижными при преобразовании S_l, т.е. (" А Î l) S_l (А) = А.

Если на плоскости задать некоторую прямую l в качестве оси симметрии, то этим самым осевая симметрия будет вполне определена, т.к. для любой точки К Î Р найдется ее образ
К ¢ = S_l (К).

Осевую симметрию можно задать и парой точек В и В ¢, т.к. при этом ось симметрии будет серединным перпендикуляром к ВВ ¢.

Если на плоскости выбрана система координат, то точка М ¢, симметричная точке М (х; у) относительно оси абсцисс имеет координаты (х; – у), а точка М ¢¢, симметричная точке М (х; у) относительно оси ординат имеет координаты (– х; у).

Свойства осевой симметрии

1. Если S_l (А) = А ¢, то S_l (А ¢) = А. В самом деле, эти равенства означают одно и то же – отрезок АА ¢перпендикулярен прямой l и делится его пополам.

Рассмотрим S_l ² = S_l (S_l (А)) = S_l (А ¢) = А Þ преобразование S_l ² оставляет все точки плоскости неподвижными, т.е. является тождественным преобразованием. Т.о. осевая симметрия сама себе обратна.

2. Если S_l (А ¢) = А и М – точка оси симметрии, то точка М равноудалена от точек А и А ¢ и угол между прямыми l и МА равен углу между прямыми l и МА ¢. В самом деле, пусть В – середина отрезка АА ¢. Тогда r АВМ = r А ¢ ВМ по двум катетам.

3. Осевая симметрия является перемещением плоскости, т.е. сохраняет расстояния между точками.

Если при симметрии S_l фигура F переходит сама в себя, то ее называют симметричной относительно прямой l, а прямую l – осью симметрии фигуры F.

Фигуры могут иметь несколько осей симметрии:

· осью симметрии прямой является сама прямая и любая прямая, перпендикулярная данной;

· осью симметрии луча является прямая, не которой он лежит;

· осью симметрии отрезка является прямая, на которой он лежит и серединный перпендикуляр к отрезку;

· осью симметрии угла является прямая, на которой лежит его биссектриса;

· осью симметрии окружности и круга является любая прямая, проходящая через их диаметр;

· равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, равносторонний треугольник – три оси симметрии;

· прямоугольник имеет 2 оси симметрии, квадрат – 4, ромб – 2 оси симметрии.