любое аффинное преобразование сохраняет простое отношение 3х точек

Доказать, что l’= l

Следствие: любое аффинное преобразование сохраняет отношение лежать между.

Þ из того, что аффинное преобразование сохраняет простое отношение 3^х точек, также Þ, что оно сохраняет знак простого отношения, которое и определяет знак простого отношения.

Следствие: аффинное преобразование переводит луч в луч, отрезок в отрезок, прямую в прямую, полуплоскость в полуплоскость, угол в угол.

Þ из предыдущего следствия.

2. Аналитическое выражение аффинного преобразования.

Пусть

Запишем формулу перехода от R к R’ для т.M’:

(1) – формулы, задающие аффинные преобразования

- матрица аффинного преобразования

(2)

(1), (2) Þ с алгебраической очки зрения аффинное преобразование является линейным не выражением преобразования координат точки. Верно и обратное: любое линейное не выражение преобразование аффинных координат точки является аффинным.

Следствие: любое подобие и любое движение является аффинным преобразованием, т.к. они линейные и невырожденные

3. Частные виды аффинных преобразований.

Движение и подобие является аффинным преобразованием:

1). движение задается парой ортонормированных реперов:

2). подобие задается парой ортогональных реперов:

Рассмотрим другие виды аффинных преобразований

Df: Перспективно-аффинным или родственным называется аффинное преобразование дополнительно обладающее свойством: отрезки, соединяющие пары соответственных точек, параллельны между собой.

Th: любое аффинное преобразование можно представить в виде произведения 2^х перспективно-аффинных преобразований.

Доказательство:

Пусть аффинное преобразование задано парой треугольников: и . Возьмем на плоскости 2 неколлин. вектора Через вершины проведем прямые - через вершины - прямые

получим

Рассмотрим аффинное преобразование:

3). - сжатие к оси O_x вдоль O_y, k – коэффициент сжатия.

Аналитически оно записывается:

4).

Аналитически оно записывается:

Некоторые свойства перспективно-аффинных преобразований:

1⁰. каждая точка оси O_x неподвижна.

2⁰. прямые, содержащие пары соответственных точек, параллельны между собой.

3⁰. пара соответствующих прямых, либо параллельна оси O_x, либо пересекаются на оси O_x.

4⁰.любое аффинное преобразование можно представить в виде произведения 2^х перспективно-аффинных преобразований.

4. Группа аффинных преобразований плоскости.

Th: Множество аффинных преобразований плоскости образует группу.

Доказательство:

1). Пусть

аффинное преобразование

2). аффинное преобразование

Таким образом, множество аффинных преобразований является подгруппой группы всех преобразований, а следовательно сама является группой. Так как, группа подобий и группа движений является аффинным преобразованием, то можем изобразить строение группы аффинных преобразований: (см. таблицу).