Свойства движения

Будем говорить, что т. B лежит между точками А и С, и записывать:

1⁰. Движение сохранит отношение лежать между АВС и движение

, свойство утверждает А^’B^’C^’

Доказательство: из того, что (1)

«f – движение» (2)

(1), (2) Þ

Следствие: из доказанного свойства следует, что любое движение переводит луч в прямую, отрезок в отрезок, полуплоскость в полуплоскость, угол в угол.

Доказательство: из того, что все перечисленные фигуры определяются при помощи отношения между:

Каждая прямая плоскости разбивает все точки плоскости, не лежащие на этой прямой на 2 класса, также, что для любых 2^х точек, принадлежащих одному классу на прямой l не существует, точки, лежащие между ними, для любых 2^х точек их различных классов на l существуют точки, лежащие между ними.

Так определ. Классы называются полуплоскостями (открытыми)

Обозначаются: L⁺ и L^-

Пусть дан

где

F₁ – полуплоскость, определяющая прямою АВ, содержащую [BC)

F₂ – полуплоскость, определяющая прямой ВС, содержащей [BA)

F₁, F₂ – внутренняя область угла

2⁰. Движение переводит пару параллельных прямых в пару параллельных прямых.

Доказательство:

Доказываем от противного:

Но a || и Þ противоречие

При доказательстве свойства 2⁰, мы не использовали, что f - движение, а использовали только свойство, что движение переводит прямую в прямую. Поэтому свойство 2⁰ – частный случай более общего утверждения.

Лемма: любое преобразование плоскости, переводящее прямую в прямую, сохраняет перпендикулярность прямых.

3⁰. любое движение сохраняет простое отношение 3^х точек.

Пусть А, В, С – 3 точки одной прямой

(А, В, С) =

движение:

Доказательство: т.к. А, В, С лежат на одной прямой, а движение переводит прямую в прямую, то их образы А^’, B^’, C^’, принадлежат одной прямой.

Докажем, что движение сохраняет модуль простого отношения. Обозначим, через l^’ отношение между точками

Но так как, движение сохраняет отношение между точками, а простое отношение 3^х точек равно нулю, то точки А, В, С, то движение сохраняет и знак простого отношения;

4⁰. движение сохраняет величину угла.

Доказательство: пусть дан тогда На сторонах угла зафиксированы т. А.С

Тогда (1)

Следствие: 1). Движение сохраняет перпендикулярность прямых.

2). Переводит ортонормированный репер в ортонормированный.

Лемма: преобразование плоскости, которое репер R переводит в R^’ и сохраняет простое отношение 3^х точек, в каждой т. ставит в соответствие т.

Доказательство:

Для доказательства достаточно доказать, что координаты точки, выражаются через простое отношение 3^х точек.

- произвольная точка

Т.к. f- сохраняет простое отношение 3^х точек, то