![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Определение и свойства.
Пусть дано действительное число k>0
Df: Подобием коэффициента k (обозначается Пk) называется преобразование плоскости, при котором каждой паре точек А, В ставится в соответствие А’, B’, что
Из Df любое подобие с коэффициентом k=1 есть движение. Движение есть подобие с k=1.
10.
20. Подобие сохраняет отношение лежать между.
Пусть A, B, C – 3 точки, такие, что В лежит между А и С (1), пусть
, тогда
(2)
Умножим обе части равенства (1) на k:
лежит между A’ и C’
Следствие: любое подобие переводит луч в луч, отрезок в отрезок, прямую в прямую, полуплоскость в полуплоскость, угол в угол.
Þ из того, что все перечисленные фигуры определяются через отношение лежать между.
30. Любое подобие сохраняет параллельность прямых.
Þ из леммы 1, которая утверждает, что: любое преобразование плоскости, переводящее прямую в прямую сохраняет параллельность.
40. Подобие сохраняет величину угла.
Зафиксируем на сторонах угла
АВС, т. и
(1) ~
Следствие: подобие сохраняет перпендикулярность прямых.
50. Подобие сохраняет простое отношение 3х точек.
Нужно доказать, что . Т.к. подобие сохраняет отношение лежать между, то оно сохраняет знак простого отношения 3х точек:
(1). Рассмотрим модуль
(2)
(1),(2)
60. Любое подобие переводит окружность в окружность.
Дана
Имеет место следующее утверждение: любое преобразование плоскости, переводящее прямую в прямую, и окружность в окружность, является подобием.
Движение является частным случаем подобия. Другим частным видом подобия является гомотетия.
Пусть на плоскости зафиксирована т. S и k ¹ 0
Df: Геометрией с центром в т. S и коэффициентом
называется преобразование плоскости, при котором каждой точке М ставятся в соответствие, такая точка M’, что
Th: Гомотетия с коэффициентом k является подобие с коэффициентом |k|; т.е.
(*)
- подобие с коэффициентом |k|
Из доказанной Th следует, что так как гомотетия – частный вид подобия, то она обладает всеми свойствами подобия, кроме того гомотетия обладает следующими свойствами:
10. каждую прямую переводит в параллельную ей прямую.
20. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.
2. Аналитическое выражение подобия.
Th: Любое подобие модно представить в виде произведения гомотетии на движение, причем цент можно выбрать произвольно.
Доказательство:
(1)
" S
(2)
(1), (2) (3)
(3)
Выберем на плоскости ДПСК . Пусть
На основании предыдущей Th, Пk можно представить в виде произведения
(1)
(2)
(1)®(2)
Если E = 1, то подобие – подобия 1го рода.
Докажем, что гомотетия является подобием 1го рода:
гомотетия подобия 1го рода.
3. Группа подобных преобразований.
Th: Множество всех подобных преобразований образует группу, которая является подгруппой группы всех преобразований плоскости.
Доказательство:
1).
(1)
(2)
2). Пусть
Th: Множество подобий 1го рода образует группу.
Þ из того, что 2 подобия сохраняет ориентацию плоскости, то их произведение сохраняет ориентацию плоскости; если подобие сохраняет ориентацию, то и образное подобие сохраняет ориентацию. Следовательно, подгруппой является группа движений и группа движений 1го рода замыкается последняя группа на группу тождественных преобразований. Множество гомотетий не образует группу, т.к. произведение 2х гомотетий с различными центрами может не быть гомотетией. Но множества гомотетий с фиксированным центром образует группу. Последняя группа замыкается на тождественных преобразованиях.
Лекция 24
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 641 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!