Подобные образования плоскости

1. Определение и свойства.

Пусть дано действительное число k>0

Df: Подобием коэффициента k (обозначается П_k) называется преобразование плоскости, при котором каждой паре точек А, В ставится в соответствие А’, B’, что

Из Df любое подобие с коэффициентом k=1 есть движение. Движение есть подобие с k=1.

1⁰.

2⁰. Подобие сохраняет отношение лежать между.

Пусть A, B, C – 3 точки, такие, что В лежит между А и С (1), пусть , тогда (2)

Умножим обе части равенства (1) на k:

лежит между A’ и C’

Следствие: любое подобие переводит луч в луч, отрезок в отрезок, прямую в прямую, полуплоскость в полуплоскость, угол в угол.

Þ из того, что все перечисленные фигуры определяются через отношение лежать между.

3⁰. Любое подобие сохраняет параллельность прямых.

Þ из леммы 1, которая утверждает, что: любое преобразование плоскости, переводящее прямую в прямую сохраняет параллельность.

4⁰. Подобие сохраняет величину угла.

Зафиксируем на сторонах угла

АВС, т. и

(1) ~

Следствие: подобие сохраняет перпендикулярность прямых.

5⁰. Подобие сохраняет простое отношение 3^х точек.

Нужно доказать, что . Т.к. подобие сохраняет отношение лежать между, то оно сохраняет знак простого отношения 3^х точек: (1). Рассмотрим модуль

(2)

(1),(2)

6⁰. Любое подобие переводит окружность в окружность.

Дана

Имеет место следующее утверждение: любое преобразование плоскости, переводящее прямую в прямую, и окружность в окружность, является подобием.

Движение является частным случаем подобия. Другим частным видом подобия является гомотетия.

Пусть на плоскости зафиксирована т. S и k ¹ 0

Df: Геометрией с центром в т. S и коэффициентом называется преобразование плоскости, при котором каждой точке М ставятся в соответствие, такая точка M’, что

Th: Гомотетия с коэффициентом k является подобие с коэффициентом |k|; т.е.

(*)

- подобие с коэффициентом |k|

Из доказанной Th следует, что так как гомотетия – частный вид подобия, то она обладает всеми свойствами подобия, кроме того гомотетия обладает следующими свойствами:

1⁰. каждую прямую переводит в параллельную ей прямую.

2⁰. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

2. Аналитическое выражение подобия.

Th: Любое подобие модно представить в виде произведения гомотетии на движение, причем цент можно выбрать произвольно.

Доказательство:

(1) " S (2)

(1), (2) (3)

(3)

Выберем на плоскости ДПСК . Пусть

На основании предыдущей Th, П_k можно представить в виде произведения

(1)

(2)

(1)®(2)

Если E = 1, то подобие – подобия 1^го рода.

Докажем, что гомотетия является подобием 1^го рода:

гомотетия подобия 1^го рода.

3. Группа подобных преобразований.

Th: Множество всех подобных преобразований образует группу, которая является подгруппой группы всех преобразований плоскости.

Доказательство:

1).

(1) (2)

2). Пусть

Th: Множество подобий 1^го рода образует группу.

Þ из того, что 2 подобия сохраняет ориентацию плоскости, то их произведение сохраняет ориентацию плоскости; если подобие сохраняет ориентацию, то и образное подобие сохраняет ориентацию. Следовательно, подгруппой является группа движений и группа движений 1^го рода замыкается последняя группа на группу тождественных преобразований. Множество гомотетий не образует группу, т.к. произведение 2^х гомотетий с различными центрами может не быть гомотетией. Но множества гомотетий с фиксированным центром образует группу. Последняя группа замыкается на тождественных преобразованиях.

Лекция 24