Построение

Наряду, в параболами, заданными каноническим уравнением в задачах встречаются параболы, заданные простейшими уравнениями.

1⁰. F₁(-

d: x =

j₁: y² = - 2xp

2⁰. F₂(0,

d: y = -

j₂: y² = 2xp

3⁰. F₃(0, -

d₃: y =

j₃: x² = - 2xp

Замечание: если требуется составить уравнение параболы для прямой и фокуса, расположенных произвольным способом относительно начала координат, то следует воспользоваться определением.

Лекция 15

Фокусы и директриссы линий 2^гопорядка. Уравнение линий 2^го порядка в полярной СК.

Пусть эллипс (гипербола) заданы каноническими уравнениями. Прямые - называется директриссами эллипса (гиперболы).

Т.к. для эллипса эксцентриситип E < 1, а для гиперболы E > 1, то директриссы параллельны мнимой оси эллипса (мнимой оси гиперболы) и не пересекают эллипса (гиперболы)

DF: Фокус и директриссу, лежащую по одну сторону от мнимой оси эллипса (мнимой оси гиперболы) наз. с оответствующими друг другу.

Изобразим все сказанное на чертежах.

Расположение между директриссами эллипса (гиперболы)вычисляется по формуле:

The: Для любой точки эллипса (гиперболы) отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей этому фокус директриссы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).

Доказательство:

Th докажем, для правого фокуса эллипса и соответствующей ему директриссы, т.е. для правого фокуса эллипса и гиперболы (*)

Пусть j – данный эллипс, F₂ – первый фокус, d₂ – первая директрисса.

F₂ (c, o)

d₂ = a | E

" M(x,y) Î j – эллипс

Th₂ (обратная Th₁) пусть на плоскости дана т.F – фокус и F Ï d, d – директрисса, тогда множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директриссы есть величина постоянная, меньше 1 (больше 1), есть эллипс (гипербола)

Доказательство:

"

Из Th₁ и Th₂ Þ, что эллипсу и гиперболе можно дать общее определение.

DF: Эллипсом (гиперболой) называется множество точек плоскости, для каждой из которой отношение расстояний до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через фокус, называемой директриссой, есть величина постоянная «меньше 1» (больше 1)

По определению параболы j_пар = {M || FM| = r(M,d)}, где А Ï d, А- фокус, d – директрисса.

- эксцентриситет параболы.

Называя эллипс, гиперболу, параболу – фокальными кривыми, мы можем дать общее определение фокальной линии 2^го порядка.

DF: Фокальной линией 2^го порядка называется множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскасти, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через фокус, называемой директриссой, есть величина постоянная.

2. Уравнение линии 2^го порядка в полярной системе координат.

Пользуясь общим определением фокальной линии 2^го порядка, составим ее уравнение в полярной СК.

F – фокус, А Ï d, d – директрисса.

Будем считать т. F- левым фокусом эллипса или правым фокусом гиперболы или фокусом параболы, а d-соответственно этому фокусу директрисса.

Введем на плоскости полярную СК, поместив полюс в т. F и взвесив в качестве полярной оси луч [FP), где [FP) | [FP) ^ d, [FP) Ç d ¹ 0

= {F, [FP^*.)}, где [FP^*) | [FP^*) ^ d, [FP^*) Ç d =

(1)

(2)

(1), (2) (3)

, p-фокальный пар-р j (4)

(5)

(6)

(7)

(7),(4) (8)

(9)

(10)

(11)

(3),(11)

;

- уравнение линии 2^го порядка в полярной СК (12)

Уравнение (12) задавало всю гиперболу (обе ветви) достаточно рассматривать это уравнение а обобщенной СК, где нa r и не накладываются ограничения.

E < 1 Þ j – эллипс

E = 1 Þ j – парабола

E > 1 Þ j – гипербола (правая ветвь)