Лекция 16

Общее уравнение линии 2^гопорядка. Приведение общего уравнения линии 2^го порядка к каноническому виду.

DF: Общим уравнением линии 2^го порядка называется уравнение, левая часть которого является многочленом 2^го порядка.

R = {O, (i,j)} – ДПСК, тогда согласно определению:

(1)

a_y = a_si

Общее значение (1) содержит 6 коэффициентов, при этом хотя бы 1 из коэффициентов а отличен от 0

Разделив обе части на а₁₁, получим:

(2)

Уравнение (1) определяет не только вид линии 2^го порядка, но и ее расположение относительно ДПСК, заданной репером R. Поэтому желательно на плоскости найти ДПСК, относительно которой уравнение (1) имело бы наиболее простой канонический вид.

Отыскать ДПСК относительно которой (1) имеет канонический вид, нам помогут 2 теоремы.

The: Пусть линя 2^го порядка в ДПСК, заданной репером R = {O, (i,j)}, заданна общим уравнением (1), тогда путем поворота системы координат R вокруг начала O мы можем получить новую СК: R^’ = {O, (I^’,j^’)} относительно которой в уравнение (1) исчезнет член с произведением координат.

(2)

Доказательство:

Пусть M(x,y)_R Î j, M(x^’,y^’)_R^’, L = (iÙ,I^’)

Формулы перехода координат при переходе от R к R^’ имеют вид:

(3)

(3) ® (1):

+ - уравнение j в репере R^’ (4)

(4) – уравнение 2^ой степени

(5)

a₁₂ ¹ 0 (6)

a₁₂ ¹ 0 (6)

Подберем угол поворота L, так, чтобы a = 0

a = 0 Û -

т.к. sin L и cos L ни для каждого L одновременно в ноль не обращаются то последнее уравнение можно переписать в виде пропорции:

Получим систему:

(7)

Система (7) относительно cos L, sin L является системой ЛОУ, имеющей не нулевое решение. А это возможно тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. = 0 (8)

Уравнение (8) относительно l является квадратным уравнением

(9)

(9) – характеристическое уравнение уравнения (1)

Покажем, что это уравнение всегда имеет 2 действительно различных корня

(9)

Обозначим корни уравнения (9) - l₁, l₂. По т. Виета

(10)

Подставляя корни уравнения (9) в первое или второе уравнение системы (7), которому она эквивалентна, получим:

(11)

Совокупность уравнений (11) дает 2 угла: L₁ и L₂. Совершив поворот на любой из них мы получим систему R^’, относительно которой уравнение линии 2^го порядка имеет вид (2), координаты этого уравнения вычисляются по формуле (5)

Следствие из Th: коэффициенты группы старших членов в уравнение (2) равны корням характерного уравнения.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

(5)Þ

(12)

(10), (12), (a =0) (13)

Учитывая (13): (14)

Коэффициенты a и вычисляются по формулам (5)

Th2: Пусть относительно ДПСК R^’ линия j задана уравнением (14), не содержащим произведения к-т, тогда путем параллельного переноса системы R^’ в новую точку О^’, мы получим систему R^’’ = {O^’,(i, j)} относительно которой линия j имеет простейшее уравнение одного из следующих знаков:

Доказательство:

1). Рассмотрим 1 случай. Пусть l₁ ¹ 0, l₂ ¹ 0

Тогда перепишем уравнение (14) в виде:

, где

(15)

Формулы (15) задают преобразование ДПСК

где

2). Пусть уравнение (14) а коэффициент при неизвестной т. е.

Перенесем начало R` в точку O`

Формулы преобразования:

Тогда в системе , линия

3). Пусть в уравнении (14) и , тогда (14) примет вид:

, где

Перенесем начало системы R` в т. О

Формулы перехода от R` к R`` имеют вид:

. Тогда в