Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Лекция 16



Общее уравнение линии 2гопорядка. Приведение общего уравнения линии 2го порядка к каноническому виду.

DF: Общим уравнением линии 2го порядка называется уравнение, левая часть которого является многочленом 2го порядка.

R = {O, (i,j)} – ДПСК, тогда согласно определению:

(1)

ay = asi

Общее значение (1) содержит 6 коэффициентов, при этом хотя бы 1 из коэффициентов а отличен от 0

Разделив обе части на а11, получим:

(2)

Уравнение (1) определяет не только вид линии 2го порядка, но и ее расположение относительно ДПСК, заданной репером R. Поэтому желательно на плоскости найти ДПСК, относительно которой уравнение (1) имело бы наиболее простой канонический вид.

Отыскать ДПСК относительно которой (1) имеет канонический вид, нам помогут 2 теоремы.

The: Пусть линя 2го порядка в ДПСК, заданной репером R = {O, (i,j)}, заданна общим уравнением (1), тогда путем поворота системы координат R вокруг начала O мы можем получить новую СК: R = {O, (I,j)} относительно которой в уравнение (1) исчезнет член с произведением координат.

(2)

Доказательство:

Пусть M(x,y)R Î j, M(x,y)R, L = (iÙ,I)

Формулы перехода координат при переходе от R к R имеют вид:

(3)

(3) ® (1):

+ - уравнение j в репере R(4)

(4) – уравнение 2ой степени

(5)

a12 ¹ 0 (6)

a12 ¹ 0 (6)

Подберем угол поворота L, так, чтобы a = 0

a = 0 Û -

т.к. sin L и cos L ни для каждого L одновременно в ноль не обращаются то последнее уравнение можно переписать в виде пропорции:

Получим систему:

(7)

Система (7) относительно cos L, sin L является системой ЛОУ, имеющей не нулевое решение. А это возможно тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. = 0 (8)

Уравнение (8) относительно l является квадратным уравнением

(9)

(9) – характеристическое уравнение уравнения (1)

Покажем, что это уравнение всегда имеет 2 действительно различных корня

(9)


Обозначим корни уравнения (9) - l1, l2. По т. Виета

(10)

Подставляя корни уравнения (9) в первое или второе уравнение системы (7), которому она эквивалентна, получим:

(11)

Совокупность уравнений (11) дает 2 угла: L1 и L2. Совершив поворот на любой из них мы получим систему R, относительно которой уравнение линии 2го порядка имеет вид (2), координаты этого уравнения вычисляются по формуле (5)

Следствие из Th: коэффициенты группы старших членов в уравнение (2) равны корням характерного уравнения.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

(5)Þ

(12)

(10), (12), (a =0) (13)

Учитывая (13): (14)

Коэффициенты a и вычисляются по формулам (5)

Th2: Пусть относительно ДПСК R линия j задана уравнением (14), не содержащим произведения к-т, тогда путем параллельного переноса системы Rв новую точку О, мы получим систему R’’ = {O,(i, j)} относительно которой линия j имеет простейшее уравнение одного из следующих знаков:

Доказательство:

1). Рассмотрим 1 случай. Пусть l1 ¹ 0, l2 ¹ 0

Тогда перепишем уравнение (14) в виде:

, где

(15)

Формулы (15) задают преобразование ДПСК

где

2). Пусть уравнение (14) а коэффициент при неизвестной т. е.

Перенесем начало R` в точку O`

Формулы преобразования:

Тогда в системе , линия

3). Пусть в уравнении (14) и , тогда (14) примет вид:

, где

Перенесем начало системы R` в т. О

Формулы перехода от R` к R`` имеют вид:

. Тогда в





Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 210 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.012 с)...