Деление отрезка в заданном отношении

Дан отрезок , причем и . Определить координаты

точки , делящей отрезок в отношении . Очевидно, .

Если векторы и сонаправлены ( внутренняя точка отрезка), то последнее соотношение можно представить в векторной форме , и поскольку , получаем векторное уравнение

.

Известно, что два вектора равны, если равны их соответствующие проекции, отсюда следует

.

Из этой системы уравнений определяем искомые координаты точки :

.

Замечание 1. В полученных формулах существенно, какая точка отрезка считается первой, и какая второй. В самом деле, если , то . Другими словами, одна и та же точка делит отрезки и в различном отношении.

Замечание 2. Если за основное принять векторное равенство , точка может находиться вне отрезка , тогда векторы и противоположно направлены, полученные формулы при этом справедливы, но .

При имеем известные их школы формулы координат середины отрезка

.