Лекции 17. Ряды Фурье

17.1. Тригонометрическая система функций, ее ортогональность.

17.2. Ряд Фурье.Формулы для вычисления его коэффициентов.

17.3. Ряды Фурье для четных и нечетных периодических функций.

17.4. Сходимость ряда Фурье.

17.5. Разложение функции, заданной на интервале, в косинус и синус ряд Фурье.

17.1.

Функции и называются ортогональными на отрезке , если

. Система функций называется ортогональной на отрезке , если каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом отрезке. Исторически первым и наиболее важным примером ортогональной системы функций, явилась система функций

(1)

на интервале

Легко убедиться в том, что она действительно ортогональная:

при . Аналогично, (при ),

(при любых ).

Система (1) ортогональна также на интервале и вообще на любом интервале длины .

По свойству интеграла от нечетных функций

, т.е. система функций - (2)

ортогональна на интервале .

Аналогично проверяется, что система функций

- (3)

ортогональна на интервале .

Если “растянуть” вдоль оси каждую из функций системы (1) в раз, мы получим систему функций

(4)

ортогональную на интервале . Подобным образом можно “растянуть” системы функций (2), (3) и, вообще, любую ортогональную систему функций. Применяется также сдвиг ортогональной системы функций вдоль оси абсцисс, отчего она не перестает быть ортогональной на сдвинутом интервале. В заключении отметим, что свойством ортогональности могут обладать не только тригонометрические функции.

17.2

Проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису.

Определение: Ряд вида , (1)

где постоянные числа называются тригонометрическим рядом, - коэффициентами ряда.

Пусть периодическая с периодом функция такова, что она представляется тригонометрическим рядом (1) сходится к данной функции в интервале , т.е. является суммой этого ряда:

(2)

Проинтегрируем (2) в пределах от до :

Следовательно,

(3)

Можно показать, что Покажем при

при

Умножим (2) на :

и проинтегрируем от до :

или

, откуда

(4)

Умножая (2) на и интегрируя от до , получаем:

, откуда

(5)

,

Коэффициенты, определенные по формулам (3),(4),(5) называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд такими коэффициентами называется рядом Фурье унции .

Пример: Разложить функцию в ряд Фурье.

17.3

Если функция - четная, то .

Если функция - нечетная, то

Поэтому

1) если в ряд Фурье разлагается нечетная функция , то -нечетная функция, - четная, следовательно

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы (см. пример для ).

2) Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение - нечетная функция, а - четная функция, следовательно

,

т.е. ряд Фурье четной функции содержит только косинусы.

Замечание: Если функция периодическая с периодом , отличным от , то коэффициенты ряда Фурье

а

17.4

Ранее предполагалось, что функция разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд. Если такого предположения не делать, а допустить только, что для функции существуют все интегралы, стоящие в правых частях формул для вычисления коэффициентов и составить тригонометрический ряд – ряд Фурье, то встает вопрос, сходится ли этот ряд и если сходится, то будет ли он сходиться к функции , с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Сформулируем достаточное условие представимости функции рядом Фурье.

Теорема Дирихле: Пусть функция на отрезке удовлетворяет условиям:

1) - непрерывна или кусочно непрерывна (т.е. имеется конечное число точек разрыва первого рода);

2) - монотонна или кусочно-монотонна (т.е. отрезок можно разделить на конечное число отрезков, внутри каждого из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна,

тогда ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равна в точках непрерывности функции равна на концах отрезка .

17.5

Если на отрезке разлагается в ряд Фурье четная функция, то ряд содержит только косинусы, если нечетная функция, то ряд содержит только синусы. Часто возникает задача о разложении в ряд по косинусам или в ряд по синусам функции , заданной на отрезке .

Для разложения в ряд по косинусам дополним определение данной функции так, чтобы при было . В результате получится четная функция (в этом случае говорят: функция продолжена с отрезка на отрезок четным образом.

Тогда для “продолженной” четной функции справедливы все предыдущие рассуждения и, следовательно, коэффициенты Фурье могут быть вычислены по формулам .

В этих формулах фигурируют лишь заданные на значения . Следовательно, при практических вычислениях можно и не осуществлять указанное четное продолжение. Если мы хотим разложить функцию в ряд по синусам, то продолжаем ее с отрезка на отрезок нечетным образом, полагаем при , тогда получим нечетную функцию, при этом по смыслу нечетности должны . Для продолженной нечетной функции для коэффициентов Фурье: , , так как здесь участвуют лишь значения на , то фактически продолжение функции с на можно и не осуществлять. Члены ряда Фурье – периодические функции с периодом . Поэтому если ряд Фурье сходится на отрезке , то он сходится и при всех вещественных значениях и сумма ряда периодически повторяет с периодом те значения, которые она давала на отрезке . Таким образом, если мы пользуемся рядом Фурье вне отрезка , то мы должны считать, что функция продолжена вне этого отрезка периодически с периодом . С этой точки зрения его концы будут для продолженной таким образом функции точками разрыва, если .