Разложение степенной функции в ряд Тейлора

Рассмотрим функцию . (5).

Область сходимости ряда . на границе интервала надо проверять отдельно для каждого конкретного ряда

Отметим наиболее часто встречающиеся частные случаи биномиального ряда:

1. , тогда - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сходится при .

2. , тогда

3. , тогда

Используя свойство степенных рядов о почленном интегрировании и дифференцировании внутри области сходимости можно получить следующие разложения:

Пример 1: сходится при . Проинтегрируем внутри отрезка сходимости: Пример 2:

Сходится при . Проинтегрировав по на получим: .