Приложение рядов к приближенным вычислениям значений функций и интегралов

Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, вычислять приближенные значения функций, приближенно вычислять некоторые “неберущиеся” определенные интегралы. Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Вычислить с точностью до .

Имеем . Погрешность приближения определяется остатком

Имеем .

, т.е.

.

Пример 2: Вычислить с точностью до .

Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда.

Пример 3: с точностью до . Заменяя в разложении

на , получим .

Подставим этот ряд под знак данного интеграла и почленно интегрируем

Так как знаки чередуются, ряд, удовлетворят теореме Лейбница и .

Пример 4: Вычислить .

.